Это было написано для моего внука, когда ему исполнилось шесть лет. Но его родителям было совершенно некогда заниматься с ним такой ерундой. Необходимо было просто выжить в этот период. Если у вас есть возможность помочь своим внукам или внучкам, прочитайте, и – всё в ваших руках.
Ч и с л а и Ц и ф р ы
Спроси у любого взрослого: «Чем отличаются цифры от чисел?» Ответ будет примерно такой – н и ч е м...
Один, два, три... 1, 2, 3.... В первом случае это слова, названия чисел, а во втором – цифры, которые обозначают эти числа. Прочитай ещё раз. Подумай в чём отличие. Числа и цифры ...
Вот, когда я писал заголовок «Числа и Цифры», чувствовал, что это не совсем то, т.е. совсем не то. Придётся тут говорить о таких понятиях, которые, на первый взгляд, не имеют к цифрам и числам никакого отношения. Но! Это только на первый взгляд. Куда меня занесёт в рассуждениях о числах, не знаю! А причина очень простая. О чём бы ни говорить, что бы ни рассматривать, можно залезть в такие дебри (это непроходимые леса, которые, при большом желании, МОЖНО пройти), из которых выбраться весьма затруднительно. Перед тобой три яблока. Если яблоки не любишь, пусть будут три арбуза. К ним можно добавить ещё два, станет пять арбузов. А можно постараться и съесть один, тогда останется два арбуза. Знаешь, почему я заговорил про арбузы? Посмотри на детскую фотографию, где ты уплетаешь арбуз. Я, до сих пор, ем арбузы точно так же! Течёт по усам, по бороде, как говорят, за ушами трещит! Не могу оторваться, пока весь арбуз не прикончу.
Если ты любишь арбузы (watermelon) также как я, то сначала надо съесть столько, сколько влезет в пузо. Высокие материи – потом. Хорошо, съели. Идём дальше.
Арбузы – это не числа и не цифры. Межу прочим, многие не знают, что арбузы – ягоды! Но, вот мы говорим – три яблока, пять арбузов, два человека, четыре часа…
Если к двум стульям прибавить три телевизора, что получится? Думай. Пять предметов. К двум домам прибавить один автомобиль – получим четыре объекта. Объектом может быть всё неживое. Две собаки и пять человек – семь субъектов. Догадался? Субъект – это что-то живое. Это личность. А микроб? Он вроде живой. Он личность? Видишь, я предупреждал, залезем в дебри. Но! При большом желании, из любых дебрей можно выбраться.
Есть понятия частного и общего. Например, по отдельности Ты и Я – это частное, совершенно конкретное понятие. А вместе мы – мужчины, более расширено – люди, ещё более расширено – homo sapiens, и, наконец, - живые существа, the living beings. Так, кажется.
Три яблока и пять груш – восемь фруктов. Шесть фруктов и два дома можно объединить в восемь объектов... А вот две реки и три часа? Один паунд и десять метров, два человека и три точки???
Китайские мудрецы, а они были очень мудрые, придумали пословицу - Один дурак своими вопросами может загнать в угол 10 мудрецов.
С мудрецами лучше не спорить, они всё равно останутся при своём мнении. У нас сейчас другая задача.
Давай вернёмся к числам. И, если меня унесёт в совершенно другие земли и страны, не спеши упрекать в непоследовательности и нелогичности суждений, постарайся ухватить главное.
А что главное, что неглавное, я и сам не очень представляю. Не раз убеждался : вчера – ну, очень главное, а сегодня – уже не очень.
И так.
Ч и с л а.
Не зная письменности, человек уже умел С Ч И Т А Т Ь. Умел отличать различное количество предметов, животных… Но!!! Это были НЕ ЧИСЛА! Принести с охоты два зайца или пять, добыть три кокосовых ореха или десять – вопрос выживания племени. Как разделить 100 бананов на всё племя, если вождю надо отдать 10, а колдуну 5?
Не было письменности, но были камешки, палочки, верёвочки ... На верёвочках можно завязывать узелки определённым образом, на палочках делали ножом зарубки. Для быстрого счёта пользовались камешками, так как пальцев рук хватало для небольших количеств.
Но как было сказать соплеменнику, что хочу поменять три овцы на два персональных компьютера? Ну, ладно, на две шкуры лисицы. Очень просто. Показываешь три пальца, говоришь: три овцы, и бьёшь себя в грудь. Не спеши думать, что это можно истолковать так, что я – три овцы. Потом показываешь три пальца, говоришь - лисица, показываешь на собеседника. Так или не так, но всем было понятно – где два, а где пять.
А пальцев, даже если использовать ноги, было всего двадцать. Стадо могло состоять из многих сотен овец. Их по пальцам не перечтёшь. Как быть? 1000 камешков с собой в мешке не унесёшь, даже 100 зарубок на палке не сосчитаешь, чтобы не сбиться. Да, и какой длины нужна палка!
Не сразу, у каждого народа по-своему, появилась письменность, и, в первую очередь, для обозначения количества конкретных предметов. Очень приятно думать, что письменность появилась только затем, чтобы выразить свои переживания и сообщить о них всему миру:
To be, or not to be.
(In what a question).
(It is a question).
That is the question.
Но, вот перед тобой слепленная из глины лепёшка и обломок палочки. Можно написать это философское изречение? Нет! Пока нет. Однако, смотри. Я выдавил на глине следующие знаки.
◄◄▼▼▼
Для нас с тобой, п о к а, это два треугольничка, лежащих на боку, и три – стоящих на «голове». А для ассирийцев, шумеров и вавилонян, живущих в Междуречье Тигра и Евфрата 2000 лет до нас, эти треугольники не что иное, как Ц И Ф Р А 23. Почему? Хороший вопрос.
А они 2000 лет назад договорились! ! !,
что ▼- цифра, обозначающая число ОДИН,
а ◄ - цифра, обозначающая число Д Е С Я Т Ь.
Согласись, это для нас не совсем привычно, ну, совсем не привычно, но, очень здорово. И через минуту кажется – всё просто, всё понятно. По молодости я не раз спотыкался на такой поспешности.
Вот посмотри. ▼◄◄◄▼▼ Это сколько будет? Ой, как говорится, мать моя родная, и я сразу не скажу. Дебри. Хорошо, что у нас с тобой есть желание из них выбраться. Значит, выберемся, не сомневаюсь. А пока скажу. Это число 92.
Дело а том, что. . .
С раннего детства мы знали только одну СИСТЕМУ СЧИСЛЕНИЯ -
Д Е С Я Т И Ч Н У Ю. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, и 9. Потом 10 , 11....135…Нет, это не верно. Посмотри на циферблат часов. Домашние часы имеют только 12 цифр. Там нет ни 25, ни 48! Ни 135. Мы к этому так привыкли, что совсем не трудно сказать, сколько сейчас времени. Надеюсь, ты с часами в ладу. Хорошо. А корабельные часы имеют 24 цифры. Почему часов то 12, то 24, разобраться не трудно. На одном и том же циферблате можно разместить и 12, и 24 часа, дело в удобстве, не более. Но! На любых часах полный круг циферблата разделён на 60 минут. Не 100! Почему?
Здесь использована ш е с т и д е с я т и р и ч н а я система счисления.
60 минут = 1-у часу!
60 минут + 60 минут = 2-м часам!
24 часа = 1-м суткам
24 часа + 24 часа = 2-м суткам!
Скажи, а сколько будет: 1 час + 30 минут? Подумай, не спеши.
Так вот. Вавилоляне число 60 снова обозначали цифрой ▼.
▼ ◄ ◄ ◄ ▼ ▼
60 + 10+ 10 + 10 + 1 + 1 = 92.
И если ты спросишь, как же узнать: ▼- это единица или шестьдесят? То позволь задать встречный вопрос: в числе 105 1-это единица или сто? Уверен, ответ тебе известен. Значение цифры в числе определяется её положением, её позицией!
Когда встретишь термин (выражение) – позиционная система счисления, сразу вспомни : 1 1 1 1.
В этом числе правая единица (цифра первого разряда) – число один, единица второго разряда – десять, третьего – сто, четвёртого - тысяча.
Естественно, вместо цифры 1 может стоять любая другая.
Вот и вся позиционная система. Не надо пугаться незнакомых слов, терминов или понятий. Попробуй найти что-то уже знакомое, известное тебе.
Часы и минуты, окружность в 360 градусов, продолжительность первого Солнечного календарного года в 360 дней, – наше наследие от народов Междуречья. И, знаешь, что интересно. Мы, сами того не замечая, объединили две системы в одну при счислении времени. Смотри. 3 часа 15 минут и 29 секунд. 60 секунд = 1-ой минуте. 60 минут = 1-му часу. Так всё верно. 60-тиричная система. Если ты смотришь спортивные передачи, обрати внимание на результаты забега: “ Антонио пробежал 110 ярдов за 12 и 34 сотых!!! секунды”. Сотые и десятые –это уже десятеричная система.
Ты извини, но в моём рассказе не будет строгой последовательности. Я не учёный, и моё желание – заинтересовать тебя удивительнейшими фактами и событиями, которые за 2000, а то и за 5000 лет до нас были известны людям.
Вернёмся к цифрам. Напомню:
Цифры – это условные знаки для обозначения Чисел.
Не знаю, как для тебя, а разницу между 2000 лет до нашей эры (это не совсем верно, до новой Эры!) и 5000 лет до Рождества Христова, я воспринимаю у м с т в е н н о.Ты укуси лимон. И как? Кислый. Чай горячий, океан холодный. Уколол палец – больно. Это всё мы чувствуем. Непосредственно. А что до Солнца 150 мл. км, что всё состоит из молекул, а те состоят из атомов, а те состоят из ... – это мы знаем. Ладно. У слова абстракция несколько значений, пока разговор не про неё. Вернёмся к нашим баранам.
Так вот, за 5000 лет до новой эры в Древнем Египте “число 10” обозначали иероглифом ∩ , у них была десятеричная система.
Индейцы племени Майя использовали двадцатеричную систему счисления. У них единица обозначалась точкой, а 5 – горизонтальной чертой. - - - . . .
Это в нашем понимании – 14.
В Древней Греции числа 5, 10, 100, 1000 и 10.000 обозначались буквами Г, Д, Н, Х, М, а число 1 – наклонной чёрточкой /.
В Древнем Риме – 1 это I; 2 – II; 3 – III; 4 – IV; 5- V; 10 – X; 100 –C; 500 – D; 1000 – M.
И, поскольку, наши с тобой корни русские, посмотрим, что было на Руси. Русь многое позаимствовала от Византии. Числа обозначались буквами, а чтобы их отличить от букв, над ними ставился особый знак – ~ титло. Первая буква нашего алфавита – А. Единицу обозначали Ã. Далее все понятно... Ой, всё не просто. Чтобы обозначить тысячу, рядом с Ã ставили знак . Число 10.000 обозначалось той же цифрой, что и один, но без титла, титло заменяли кружком. Называлось это число «т ь м а». А
И, когда мы на уроке Русской литературы читали, что на Суздаль напала тьма татар, мы полагали, что их было неисчислимое множество.
Как в любом языке, так и в русском, у некоторых слов может быть несколько значений. Так и тьма. Темно, темень – ничего не видно.
100.000 – это л е г и о н, тьма тем. Для его обозначения вокруг буквы А рисовали кружок из точек. 10 легионов, легион легионов – это л е о р д.
Буква А с кружком из чёрточек. Леорд леордов – ворон. В этом случае букву ставили в кружке из крестиков.
Последнее число, которое имело собственное название – это к о л о д а. Такое большущее число, что я его представить не могу - 1049. Это значит, что к десяти необходимо приписать 49 нулей! Смотри.
Архимед уже в Ш в. до н.э. разработал систему обозначения чисел до фантастически огромного числа. Выглядит оно в нашем сегодняшнем обозначении так:
Цифры 1, 2, 3, 6, как не трудно догадаться, обозначают количество нулей. Слева и справа от знака = (равно) – одинаковые числа. Просто форма записи другая. Смотри внимательно, и запомни, это не трудно.
50.000 зрителей на олимпийском стадионе представить тоже не трудно. 20 таких стадионов вместят одновремённо 1.000.000 зрителей.
Расстояние от твоего дома до моего равно примерно 10.000 км, или 100.000.000 метров, или 10.000.000.000 сантиметров. “10 с девятью нулями”. Цифра довольно большая, но я её ещё могу представить. Архимедово число для меня просто не постижимо.
Запомни. Расстояние от Земли до Солнца около 150.000.000 км.
У тебя инчи? 1 инч = 2,5 см. Если мы начнём писать цифры размером 1 см, или в пол инча, до Солнца сможет уместиться «только» 15 умноженное на 10 в двенадцатой степени цифр.
Несмотря на высочайшие достижения наших дней, уважай знания древних. Они могли решать задачи, которые ты, обладая ПК, не в состоянии решить. Не веришь. Тогда попробуй доказать Великую теорему Ферма. Пока это никому ещё не удалось. Нет, лучше не пробуй даже.
Число
Если мы сумеем отвлечься от конкретных яблок, овец, домов, арбузов, то сможем складывать, вычитать, делить и умножать числа. И для нас будет неважно, крокодилы это или бегемоты.
Способность а б с т р а г и р о в а т ь с я , отделиться от конкретных понятий, была замечательным шагом в развитии математики. 2 + 2 = 4.
2 - чего? + 2 – чего? = 4 . 4 чего? Когда 2 и 4 перестали быть домами, яблоками, слонами, тогда и возникла Н А У К А –– М А Т Е М А Т И К А.
Сначала это бала арифметика. Четыре действия с Числами:
Сложить, (прибавить),
Вычесть, (отнять),
Разделить и Умножить.
Забегая далеко вперёд, хочу сказать, что все эти действия в современных ПК – основа всех программ, только вычитание, деление и умножение заменили одной операцией – сложением положительных и отрицательных чисел. А ряд логических операций просто позволили увеличить скорость вычислительных операций. О логических операциях, о Логике поговорим в следующий раз. Это отдельная и очень интересная тема разговора.
Что поразительно? Летаем в Космос, клонируем непарнокопытных, забрались в дебри строенья элементарных частиц. Тут тебе и очарованные кварки, и глюоны, и прочая редиска (это овощ такой), а мои ученики не знают, что такое логарифмы, радикалы и даже проценты! Понятия доступные ученикам Древнейших школ! Не надо далеко ходить. Я сам в средней школе, в 12-14 лет, не воспринимал эти категории осмысленно.
Мудрые люди шутят: чтобы понять самому что-либо, надо это долго объяснять другому. Это правда. Когда впервые стал преподавать такую мудреную дисциплину, как ИНСРУМЕНТАЛТНЫЕ МЕТОДЫ АНАЛИТИЧЕСЕОЙ ХИМИИ, имел о ней весьма смутное понятие. Ой, опять меня занесло.
Число, Число, Число... Вот невидаль какая. Это то, что можно складывать, вычитать, умножать и делить, абстрагировавшись от конкретных понятий. 2 х 2 = 4. 10 : 5 = 2... Это арифметика? И да, и нет.
Числа бывают простые и составные, чётные, нечётные, положительные, отрицательные, натуральные, фигурные, совершенные, дружественные, комплексные и мнимые, рациональные, иррациональные, дробные.....
Наверно ещё какие-нибудь, я не математик, мог что-либо упустить. Это только сами числа. А есть ещё Теория чисел. А есть ещё Системы счисления. А есть ещё ... И очень здорово, что всё это есть.
Надо только захотеть узнать, даже если с первого раза не совсем понятно
Есть такая детская считалочка:
Прыг-скок, прыг-скок –
Обвалился потолок.Надеюсь, у нас с тобой потолок не обвалится, но мне не очень нравится моё перескакивание с чисел на цифры, потом обратно, потом...
Потом - суп с Котом. Это, конечно, не суп из кота, это совместная трапеза.
Система! В науке Система – всё. Без неё – нет науки. Но! Не раз Система съедала величайшие, гениальные, интуитивные догадки, и проходили века, прежде чем эти догадки воплощались в Общечеловеческие знания.
Я хочу вернуться к системам счисления. Знаешь, необходимо, чтобы тебе Мама или Папа читали мои книги, пока ты сам не научился читать. И прочитали их не раз и не два. Ты за это время привыкнешь к ритму, словам, понятиям, начнёшь узнавать некоторые из них. Это очень важно не только в процессе познания окружающего мира. Например, услышал простенькую Мелодию, легко её запомнил. В следующий раз буду слушать её с удовольствием.
Прослушай более сложную мелодию, все ей восторгаются, а ты остаёшься равнодушным. Почему? Если ты не Моцарт или Паганини, от тебя потребуется определённое у с и л и е, чтобы понять и ощутить красоту этой мелодии.
Многие этого не желают, не хотят. Им проще остаться на уровне попмузыки. Хозяин – барин. Однако цветной мир интереснее чёрно-белого. Это относится и к живописи, и к литературе, и к науке. Вот, представь, ты живёшь в своей комнате. Там тебе всё известно. Никого бояться не надо. Это очень здорово. Год живешь, два, три, пять, и всё одно и то же.
Есть люди, которых такое житьё вполне устраивает. А некоторым просто страшно, когда вдруг откроется дверь и в комнату войдёт Незнакомое существо на четырёх лапах, да ещё и с пушистым хвостом, и скажет – Мяяяяууууу... Ты не улыбайся. Да, нет, почему не улыбнуться? Хорошо, что ты с котом дружишь с детства. Закрытая комната – это только образ, пример. Вместо комнаты может быть и Музыка, и Живопись, и Архитектура, и Археология .........
С и с т е м ы с ч и с л е н и я.
Я приведу сначала две системы, которая из них возникла раньше, не знаю.
На руках 10 пальцев. Пальцы всегда при тебе. Их 10! Д е с я т ь !
Назвать пальцы можно по-разному. Большой, указательный, средний... Для счёта это не важно. Важно: один, два, три, four, five, six,septem, okto, nano, deka. Названия у разных народов разные, но смысл у ВСЕХ одинаковый. И у всех по 10 пальцев.
Напрашивается вывод – первой была десятеричная система счисления. Да? А может сначала считали только до трёх? Один, два, три. Всё остальное – много.
Давай вспомним про ноги. Там ещё 10 пальцев. Может не таких красивых, как на руках, но для счёта это совсем не важно. Важно то, что всех пальцев стало 20!
Считаем пальцы: один, два, пять , десять, двадцать... А дальше?
В десятеричной системе мы, не задумываясь, ответим – 21. А система то 20-тиричная!!!!!!!!!!!! Ну, и что? Ты думаешь, что 21 баран, всегда 21 баран?
Не хотел я говорить пока о двоичной системе, но... Но! Как говорят : «Хороша ложка к обеду».
Двоичная система счисления.
Представь, у нас с тобой есть Т О Л Ь К О две цифры для обозначения
В С Е Х чисел. Ноль и единица. П Р Е Д С Т А В Ь !
Только две цифры. Никаких других.
0, 1, 0, 1, 0, 1... Раз всего две цифры – двоичная система. Пусть так.
Ноль – это нет ничего, (ну, ни совсем так), один – есть один. А тогда 10 – это сколько? И, вдруг, оказывается, что теперь 10 совсем не 10!!!
Смотри очень внимательно.Нет ничего – 0. Шесть – 110
Есть один (арбуз) – 1. Семь – 111
Есть два ( автомобиля) – 10 Восемь –1000
Есть три (...) – 11 Девять –1001
Четыре –100 Десять –1010
Пять – 101 и так далее...
Дальше попробуй продолжить сам.
Двоичная система известна давно. Но только с развитием вычислительных машин, она заняла достойное ей место… Машине (до последнего времени) в этой системе считать гораздо удобнее и быстрее. А чтобы для нас представление чисел было в привычной форме, она, Машина, конвертирует, преобразует, результаты своих вычислений в десятиричную систему.Между прочим, великий немецкий математик Лейбниц уже в XVII веке предложил перейти на элегантную двоичную систему счисления. Естественно, никто не согласился. Привычка? Да. И писать вместо десятичного числа 106, например, 101110010, согласись, длинновато.
Я включил лампу – свет горит. Нелепое выражение «свет горит». Все привыкли, не замечают. Ну, как свет может гореть? Так... Пошло–поехало.
Ладно, включил лампу – стало светло, выключил – стало темно, естественно, когда и за окном темно. Темно, светло, светло, светло, темно... Ничего не напоминает? Хорошо.
Совсем по другому: – . – . . – – – . – . Пусть, – (тире) света нет, . (точка) свет есть. Просто потому, что мы сами с тобой так договорились обозначать два события: есть свет . , нет света –. Можно и наоборот.
Ещё раз, тебе это ничего не напоминает? – это ноль, . это единица. Значит, чтобы машина начала очень быстро считать, необходимо «только две» команды : включить и выключить. Естественно, машина должна запомнить – сколько раз включили и сколько выключили.
Ещё одно отступление. Есть такая азбука Морзе. Давным-давно, когда радиосвязь была несовершенной, да и не так уж давно, я еще пользовался этой азбукой в 1968 году при взятии пеленга на приводной радиомаяк. Об этом читай в книжке про Авиацию. Так вот. Точки и тире в определённом сочетании позволяют заменять буквы любого алфавита, а значит ими можно писать слова. Смотри.
.– –. – – – – –. Это твоё имя на мой лад. Русскими буквами. А н т о н.
А вот моряки всего света пользуются английским алфавитом при передаче сигнала бедствия :
... – – – ... … – – – ... … – – – ... sos sos sos
Ти-ти-ти таа-таа-таа ти-ти-ти .... Ни с чем не спутаешь
Чтобы легче было запомнить азбуку, мы придумывали буквам, как же это в русском языке называется, забыл, потом вспомню, скажу; ну, пусть пока будут – прозвища. Например. Буква Л . – .. ти-таа-ти-ти, была у нас» сол-даа-ти-ки». А буква Э ..– – ти-ти-таа-таа это «те-тя -Каа-тя». Правда, интересно? Была буква «таа-щит- таа-щит».
А вот тебе задачка. Если Компьютер понимает «только» 0 и 1, как писать слова? Предположим, мы договорились обозначать:
А – 0000
Б – 0001
В – 0002
Это понятно, цифры с четырёх нулей не начинаются, значит, это – буквы
..............
Я – 11010
Тогда, как машина отличит: Я – число это или буква. Подумай... ПРИДУМАЙ . Ты же умнее машины. Помоги ей. Что тебе больше нравится: камешки, косточки от персиков, бобы, лягушки...? Нет, лягушки могу упрыгать. Можем остановиться на камешках. Не больших, но и не маленьких. Вишнёвые косточки меньше, их в мешочек может уместиться больше.
Это вишнёвы косточки, которые использовались для счёта на Руси. В Греции применяли камешки. Знаешь, что интересно. Одним из первых счётных инструментов были счёты. Они и сейчас кое-где используются! И я на них складывал и вычитал.
Русские счёты выглядят не так. Это абак, использующий пятеричную систему счисления. У русских, которые появились в XVI веке, 10 косточек. Следовательно, и система – десятеричная. Только вместо косточек стали устанавливать выточенные их дерева шайбочки, которые по-прежнему называют косточками.
Ну, про вычислительные инструменты разговор буден чуть позже, давай вернёмся к числам.Каждая система счисления имеет свои правила операций, действий, с числами, которая говорит о том, как производить с ними арифметические вычисления.
Для повседневных, практических нужд, у вавилонян с их шестидесятеричной системой имелись специальные таблицы, позволявшие быстро находить произведения чисел, их квадраты и кубы. Много-много позже школьники заучивают Таблицу умножения.
Со временем появляются дробные числа. Вернее, их цифровые обозначения и действия над ними. Дробные числа – это части целого числа.
Если ты думаешь, что тебе это понятие незнакомо, ошибаешься. У тебя есть два яблока. Как ты разделишь их, если ты не Буратино, на четырёх человек? Подумай.
Яблоко – целое. Его можно разрезать и не две части, и на три, и на 10...
Если разрежем каждое яблоко на две половинки, всем достанется по пол яблока, по одной второй его части. Почему по одной второй? Мы сами его разделили на ДВЕ части. Две вторые составят снова одно целое.
Разрежем на четыре части, и из каждого яблока поучим четыре четвёртых части. Возьмём три таких части. А сколько надо добавить таких же частей, чтобы снова получилось целое яблоко? Оставшуюся одну четвёртую.
Теперь отвлекись от конкретных яблок, апельсинов, арбузов и попробуй сказать, как получить дробные части любого ЧИСЛА.
Мы разрезали два яблока. Могли разрезать и 10. Только для начала их всех надо резать на одинаковое количество частей. Если мы разрежем одно яблоко на две части, другое на пять, третье на 10, а остальные резать вообще не будем, сможем ли складывать эти разные части на кучки как хотим? Сможем, почему нет? Однако, кучки получатся неодинаковые, даже если число частей в каждой кучке будет одним и тем же.
Есть простое правило, как складывать и целые, и дробные числа. Но об этом в следующий раз. Мы ещё не закончили с самими числами.
Удивительно, стоящее особняком из-за своих свойств число НУЛЬ и цифра ноль появились в вычислениях индийских математиков только в VII в. Они ввели и десятичную, десятеричную, систему счисления. А в ХV в. стали применять десятичные дроби.
Китайские математики придумали отрицательные числа и стали их употреблять ещё до новой эры. Отрицательные числа в быту можно встретить на шкале термометра, проградуированного в градусах Цельсия и Реомюра. Там есть +20 градусов и – (минус) 300 С. Американцы пользуются дома термометрами со шкалой Фаренгейта. Там отрицательных чисел нет.
Никому не придет в голову делить 4 яблока на 5 человек так, чтобы каждому досталось по целому яблоку. Пока математика состояла только из Арифметики и Геометрии, отрицательные числа были не нужны.
Хотя, такими числами древние математики оперировали свободно. Но вот появилась Алгебра, начавшаяся с изобретения способов решения простых линейных уравнений с одним неизвестным, и отрицательные позволили создать очень простые способы нахождения неизвестных величин, входящих в эти уравнения.
Дальше – больше.
Если единицу разделить на три, получим простую дробь, равную одной третьей, 1/3. Но если при делении использовать десятичные дроби, то конца и краю такому делению не будет! 0,333333 .......... Тройки будут добавляться, и добавляться, сколько бы мы не делили. Такая дробь называется периодической и бесконечной.
Если длину окружности делить на длину её диаметра, получится знаменитое число Пи
Пи-пи... Это совсем другое.
Ты с эти числом обязательно встретишься, и не раз. Если при делении у периодической дроби всё время повторяется одна и та же цифра (или две цифры), то при делении длины окружности на длину её диаметра нет повторений. Такие числа называют иррациональными.
Пи = 3,1415825625.... Вот, это значение я написал, не заглядывая в справочник. Не веришь? Дело не в хорошей памяти, просто я ещё помню детский стишок: «Кто и шутя, и скоро пожелает пи число узнать, уж знает». Посчитай буквы и получишь тот же результат. Сейчас значение этого числа несколько изменилось. Для решения школьных задач достаточно запомнить : Пи = 3,14. 2 Пи = 6,28
Число это было известно древним китайским математикам уже в V веке. Голландец Л.В. Цейлен довёл количество знаков в нём до 32.
Математик Шенкс потратил всю свою жизнь на то, чтобы вычислить значение числа p с точностью до 707 десятичных знака!!!
Закон есть закон. Dura lex, sed lex - Закон суров, но это закон.
Действительно, в ряде штатов США было закреплено на законодательном уровне то, что число Пи приравнивается (округляется) к 4, т.к. считать десятичные дроби для большинства граждан США является высшей математикой. Причём, заметьте, округлили до 4, а не до 3, что следовало бы по правилам округления в математике (число Пи=3,14). Но число 4 кратно 2, а значит счётные действия с ним проще.
Для нас это анекдотично, а для уровня образованности США норма.
И, чтобы тебя совсем уж запутать, скажу: ещё есть т р а н с ц е н д е н т н ы е числа. С первого раза и не выговоришь.
И что интересно, учёные-математики не могут доказать, что некоторые конкретные числа трансцендентны. Кстати, число ПИ и иррационально, и трансцендентно.
Для первого раза, полагаю, этого про числа и цифры вполне хватит. Пока привыкай к терминологии, к языку математики.
А Л Г Е Б Р А
День первый.
Вначале это был раздел математики, который помогал решать линейные уравнения. Что они из себя представляют?
Решаем задачу: «У тебя есть 12 яблок и ты решил поделиться яблоками с 3 друзьями. Сколько яблок досталось каждому другу?»Каждый из нас, не задумываясь, ответит: «Каждому другу досталось по 4 яблока». Однако, отвечая на такой простой вопрос ты в голове решаешь линейное уравнение! Смотри:
3 умножить на x=12 или в устной форме – трем друзьям дал по x яблок из расчета, что всего в наличии у тебя 12 яблок.
Соответственно, дальше ты находишь x путем деления произведения на известный тебе множитель: x=12:3=4.
Стоп, стоп, стоп. Ведь х это не русское «хэ», это анлицкое «икс». Так в математике принято обозначать не известную величину.
Это р а в е н с т в а.
4 + 8 = 12 2 х 6 = 12 6 : 2 = 3 5 + 8 = 10 + 3
10 – 3 = 7 3 х 5 = 15 25 : 5 = 5 11 – 1 = 9 + 1
Все числа – величины известные и вполне определённые.
Результат действий над числами, стоящими слева от знака = равен результату действий над числами, стоящими справа от знака = .
А + D = C + F A x L = Q P : K = R
Для меня в детстве было трудно сразу за каждой буквой видеть число.
Попробуй буквы заменить числами, но так чтобы равенство левой и правой частей сохранилось
A + X = C D – Y = B F x Z = N
X , Y и Z - н е и з в е с т ы е . Пока неизвестные. Они целиком зависят от конкретных значений, которые могут принимать «числа» А, В, С, D, F и N. Через x, y и z математики договорились обозначать неизвестные величины.
4 + Х = 12 5Y = 10 20 – Z = 17
Вот, это уже л и н е й н ы е у р а в н е н и я.
Они позволяют находить неизвестные величины, входящие в эти уравнения. Как это делается? Очень просто. Только сначала я хотел бы остановиться на отрицательных числах, о которых упомянул мимоходом.
Положительные числа обозначаются без знака +. 5, 7, 21, 186…
Перед отрицательными обязательно ставят знак – (минус) : -9, -72. -3....
День второй.
Арифметические действия над числами.
Постарайся понять и запомнить простые правила. Естественно, что цифры в примерах могут быть самые разные:
2 + (-1) = 1 (-5) + 8 = 3 4 + (-4) = 0 6 – 10 = 6 + (-10) = -4
2 – (-1) = 3 (-5) – (-8) = 3 4 – (-4) = 8 (-8) – (-5) = -3
Сразу понять, почему – довольно сложно. Но вот правила:
1. Чтобы вычесть большее положительное число из меньшего положительного, необходимо вычесть меньшее из большего, а перед разностью поставить знак -.
5 – 7 =
7 – 5 = 2 , значит 5 – 7 = -2
2. Чтобы сложить положительное и отрицательное числа необходимо:
Из большего вычесть меньшее, а результату присвоить знак большего.
5 + (-7) =
7 – 5 = 2 , значит 5 + (-7) = -2
9 + (-4) =
9 – 4 = 5 , 9+ (-4) = 5
Придумай сам несколько примеров и реши их. Только, пожалуйста, не бросай, если сразу не получится правильно. Ну и что. Мы же учимся.
Учимся не только решать примеры, учимся выдержке, терпению. Учимся доводить начатое дело до его завершения. Это совсем не просто.
Вначале будет трудно, иногда даже не интересно, но поверь, и сам в этом убедишься, как здорово, когда ты смог понять что-то новое, и это новое поможет подняться на следующую ступеньку удивительнейшего Мира Знаний.
День третий.
а. При вычитании отрицательного числа из положительного необходимо:
6 – (-4) =
В этом случае мы «выносим» знак - из скобок и, как бы, умножаем его на минус, стоящий перед скобками. При умножении минуса на минус получим плюс. Пока просто запомни, мы об этом поговорим чуть ниже.
Выражение будет преобразовано в 6 + 4 =
б. При вычитании положительного числа из отрицательного:
(-12) – 7 =
Ты сначала ещё раз прочитай правило а. И если хорошо его запомнил, попробуй применить его к этому примеру. Но! Не спеши. Подумай. Я подскажу. Знак вычитания необходимо «внести» в скобки, которых ещё нет, их надо дописать, а потом ... Дальше не читай, думай.
(-12) + (-7) =
Вычитание мы заменили сложением! А его ты уже знаешь.
в. Вычитание отрицательного из отрицательного.
(-3) – (-6) = и (-6) – (-3) =
Сам не хочешь составить правило? Попробуй. Если хорошо усвоил все предыдущие правила, будет не очень трудно. Ты обратил внимание, что знак отнять – и знак минус - я пишу по-разному? Это не обязательно. В русском языке часто при решении примеров вместо слова вычесть используют слово минус.
От +10 отнять +2, звучит как 10 минус 2. Всем понятно, но не совсем грамотно. Ещё русское слово отнять обозначает что-нибудь у кого- нибудь отобрать.
Сравни с английскими: to select
to subtract
to take away.
If I hav`nt mixed these expressions.
Что же получилось?
(-3) – (-6) = (-3) + (+6) = (-3) + 6 = +3
Это я специально так длинно написал, чтобы тебя запутать.
(-6) – (-3) = (-6) + (+3) = -3
Опять вычитание заменено сложением. Интересно, можешь ты сказать, а зачем тогда вычитание, если его можно заменить сложением? Я от такого вопроса приду в очень хорошее настроение, да ещё и добавлю: не только вычитание, но и умножение, и деление можно заменить одним сложением, используя положительные и отрицательные числа. Однако, об этом как-нибудь потом.
День четвертый
Повтори действия над числами Первого дня, потом переходи к умножению и делению.
При умножении двух чисел с одинаковыми знаками их произведение всегда будет положительным:
5 х 6 = 30 (-5) х (-6) = 30
Здесь х не икс, а знак умножения. Это может быть и точка и звёздочка *.
Если два числа имеют разные знаки, результат умножения будет всегда отрицательным, иметь знак -.
(-2) х 9 = - 18 4 х (-6) = - 24.
Придумай сам и порешай такие примеры.
Усложним задачу, возьмём три сомножителя - три исходных числа.
5 х (-4) х 2 =
Я пока не буду писать правило, попробуй сам догадаться, а нельзя ли разбив это выражение на две части, применить к ним уже известное правило умножения?
Смотри. Мы же можем сначала умножить 5 на (-4), как это делать – знаем. Затем полученный результат умножить на 2 по тем же правилам.
Реши эти примеры. Попробуешь?
(-3) х (-2) х (-5) = (-6) х 8 х (-1) = 7 х (-2) х 9 =
Чисел (сомножителей, тех которые перемножают между собой) может быть и пять, и десять. Мы всегда их можем разбить на пары сомножителей. А с парами нет проблем, there are no problems.
Ну, не всегда, это я немного погорячился. Одно число может остаться без пары. Вот как в наших примерах. Здесь в каждом по одной паре и ещё одно число непарное.
Пары с одинаковыми знаками при умножении всегда дают +, положительное произведение. Два сомножителя с разными знаками всегда дадут -, отрицательное произведение. Произведение – это результат, полученный при умножении.
Если не устал, перейдём к делению, а если устал, отложим на пятый день. Решай сам.
Как в детском стихотворении Цапли жалуются доктору Айболиту:
Мы лягушками нынче объелись,
И у нас животы разболелись.
День пятый
Д е л е н и е чисел.
8 : 4 = 2 ; (-18) : (-9) = 2 ; 24 : (-6) = -4 ; (-25) : 5 = -5 .
Я специально сразу написал ответ, а ты выведи правило деления. Посмотри внимательно, сравни с умножением.
Если ты быстро сообразил, может не стоило откладывать деление на Пятый день, тем более, что Шестой и Седьмой – это Weekend, как говорят американцы, а мы говорим – выходные. А почему так, не знаю.
Всю пятидневку люди выходят работать, учиться, а оставшиеся два дна – не выходят. Получается, что это «невыходные дни». Прямо, как у Алисы в Зазеркалье.
Monday !
Почему Monday? Что это значит? Ну, просто, первый, второй, третий день... у нас уже были. Началась новая неделя. Нет. У американцев неделя начинается с Sunday, это у русских первый день недели – понедельник.
Вернёмся к линейным уравнениям и сразу начнём с первого правила решения таких уравнений.
Число можно переносить с одной стороны от знака = на другую, но при этом, знак числа необходимо поменять на противоположный.
Только при таком условии равенство обоих частей уравнения сохраниться.
3Х – 25 = 11 , тогда 3Х = 11 + 25 , или (-25) = 11 – 3Х
Можно даже все члены уравнения перенести в одну сторону по этому же правилу. И, поскольку, на другой стороне НИЧЕГО не осталось, поставим там цифру 0, н о л ь.
3Х –25 – 11 = 0
Говорят: данное уравнение имеет нулевое решение
Правда, здорово. Отдельный, сам по себе, Ноль, ничего, вдруг стал равен какому то выражению. Но, если у нас р а в н е н с т в о , сообрази, каков должен быть результат действий над правой частью уравнения?
Конечно, он тоже должен быть равен нулю.
0 = 0 !
Такие линейные уравнения с одним неизвестным могли решать уже 4000 лет назад в Вавилоне и Египте.
Мы и сегодня решаем их по тем же правилам.Чтобы найти неизвестный член уравнения необходимо перенести все известные члены по одну, а все неизвестные по другую сторону знака = и произвести с ними необходимые действия.
13 + 6Х = 49
6Х = 49 –13
49 –13 = 36.
Значит: 6Х = 36 , и Х = 36: 6 , или Х = 6
Следующий пример.
5 + 7Х = 2Х – 10
Действуем по тому же правилу.
7Х –2Х = (- 10) – 5
7Х – 2Х = 5Х (-10) – 5 = ?
тогда Х = -15 : 5 , или Х = -3
Так ли это? Не ошиблись ли мы в своих вычислениях?
Существуют специальные правила проверки полученных результатов. В нашем случае необходимо в уравнение вместо Х подставить полученное для него значение. Сделаем это.
7*(-3) – 2*(-3) =-15
(-21) – (-6) = -15
Знак * – умножить, я взял для того, чтобы не путать Х (икс) и х (умножить).
Следовательно, решение правильное. Мы с тобой – молодцы.
Tuesday. Это у нас – в т о р н и к, второй день недели.
Немного из истории Алгебры.
Арифметика, (arithmos - «число» на греческом) наука о числах и правилах обращения с ними. Это сложение, вычитание, умножение и деление. Напомню, сначала эти действия производились над конкретными предметами. Счёт возник очень давно. Чтобы из него возникла наука Арифметика, необходимо было отвлечься от конкретных баранов, слонов, бананов...
2 + 3 = 5. И всё. Никаких овец, арбузов или кокосовых орехов.
Геометрия – название от греческих: geо - земля и metro - измеряю. Столь же древняя, как и Арифметика. Об этом свидетельствуют клинописные таблички Междуречья и египетские папирусы, написанные три тысячи лет назад. Геометрия возникла из потребности проводить измерения посевных площадей, планировать проведение оросительных каналов, строить дома. Для этого необходимы и специальные меры единицы площади, и способы измерения, и способы построения геометрических фигур: углов, прямоугольников, окружностей и десятков других.
И, снова, только отойдя от конкретных земельных участков, домов и дорог, математики создали науку Геометрию.
В III в. до н.э. знаменитейший древнегреческий учёный Эвклид написал выдающуюся книгу «Начала». Это даже не одну, а целых 13 книг по геометрии.
Любая наука имеет свой «язык», свои понятия, термины, правила. И в первой книге Евклид даёт определения геометрическим терминам. Среди них такие:
точка, есть то, что не имеет частей; линия есть длина без ширины, она состоит из множества точек; прямые, лежащие в одной плоскости, называются параллельными, если они не встретятся, сколько бы их не продолжали.
Можешь представить, что это была за Книга, если после её написания везде в течение 2000 лет по ней велось преподавание. Учебник Киселёва, по которому я учил геометрию в школе – это была малюсенькая часть всё из тех же «Начал» !!!
Как трудно удержатся от рассказа о выдающихся людей древнего мира. Пифагор, Евклид, Архимед, Диофант Александрийский, узбекский математик и астроном Мухаммед ал-Хорезми, написавший книгу «Китаб аль-джебр валь-мукабала». А ещё аль-Каши, Фибоначи, Рене Декарт ...
Эварист Галуа. 1811–1832. 20 лет жизни. Не понятый французскими академиками, просидевший 9 месяцев в тюрьме за революционную деятельность, 30 апреля он вышел из тюрьмы, а 30 мая был смертельно ранен на дуэли. На следующий день умер. Его решение проблемы о разрешимости алгебраических уравнений в радикалах, сейчас называют теорией Галуа. Она составляет один из самых глубоких разделов Алгебры.
Вернёмся к Алгебре. Во II тысячелетии до новой эры умели решать не только линейные уравнения с одним неизвестным, но и квадратные уравнения вида ax2 = b, и систему уравнений с двумя неизвестными, и даже простейшие кубические уравнения. Напомню, в то время буквы в математических расчётах не использовались. Формулы – это символьная (условная) запись каких либо правил. Например: площадь треугольника равна произведению основания на половину высоты, можно записать так:
S = ½ hb , где S –площадь, h – высота, b – основание.Так вот, первые алгебраические формулы выражались в геометрической форме. Сложение чисел заменяли сложением отрезков, произведение двух чисел толковали как площадь прямоугольника, а произведение трёх чисел – как объём прямоугольного параллелепипеда. Главными инструментами при таких геометрических построениях были линейка и циркуль. Но некоторые построения этими инструментами решить было невозможно. Например, простая на первый взгляд задача разделить угол на три равные часть не поддавалась никаким ухищрениям. Да и нахождение “квадратуры круга” или “удвоение объёма куба”, успеха не приносило.
Среда
Сегодня я хочу рассказать тебе древнюю легенду про изобретателя Шахмат по имени Сет.
Но, сначала, два новых понятия.
1, 2, 3, 4…
2, 4, 6, 8…
0, 15, 30, 45…
Это п о с л е д о в а т е л ь н о с т и чисел. Попробуй найти отличие чисел в их последовательности, и различие самих последовательностей. Как можно получить каждое следующее число из предыдущего? Подумай. Не торопись. Только потом читай дальше.
2=1+1
3=2+1
4=3+1
А вот другой тип последовательности.
2, 8, 16, 32, 64….
В чём здесь отличие? Как образуется каждое следующее число?
8=4х2
16=8х2
32=16х2
В первом случае каждое последующее больше предыдущего на одну и ту же постоянную величину. Её каждый раз п р и б а в л я ю т к предыдущему. Такая последовательность называется:
Арифметическая прогрессия
Во втором – предыдущее у м н о ж а ю т тоже на постоянную величину.
Здесь мы имеем дело с:
Геометрической прогрессией.
Обрати внимание, числа в геометрической прогрессии растут гораздо быстрее, чем в арифметической.
К индийскому царю Шераму пришёл мудрец и предложил удивительную игру. На доске, разрисованной в коричневые и жёлтые клетки, стояли вырезанные из чёрного и розового дерева Слоны и Крепостные башни, Кони и Солдаты, Царь и Царица. Их необходимо было переставлять с клетки на клетку определенным правилам.
Всё происходило как в настоящем боевом сражении на поле, когда Солдат убивали, Крепости разрушали, а Царей брали в плен.
Царь Шерам был очарован новой игрой и предложил Сете выбрать любую награду. Тогда Сета убрал с доски все фигуры и положил не первую клетку одно пшеничное зёрнышко. На вторую клетку– два, на третью– четыре. И так далее. На каждой следующей клетке необходимо было увеличивать число зёрен всего лишь в два раза.
Царь подивился скромности изобретателя и поручил своим мудрецам посчитать, сколько необходим пшеницы для награды.
Он не раз посылал слугу, чтобы узнать результат вычислений, но математики всё считали и считали...
И вот результат. Общее число зёрен было фантастически огромным и не поддавалось никакому воображению:
Восемнадцать квинтильонов четыреста сорок шесть квадрильонов семьсот сорок четыре триллиона семьдесят три биллиона семьсот девять миллионов пятьсот пятьдесят одна тысяча шестьсот двенадцать!!!!!!
Чтобы собрать такое количество зерна в одно место, необходимо построить склад длиной от Земли до Солнца.Вот, что такое Геометрическая прогрессия!