Родился Борис Клюев 13 июля 1944 года в Москве, окончил высшее театральное училище имени Михаила Щепкина и был приглашен в труппу Государственного академического Малого театра.
Первое время Клюев играл небольшие и незаметные роли, но уже в 1970 году ему дали шанс попробовать себя в роли побольше и главный режиссёр театра Леонид Верпаховский доверил Клюеву роль архитектора Сергея Синицына в спектакле "Так и будет" по пьесе Константина Симонова.
За 50 лет своей творческой карьеры Борис Клюев сыграл более 70 ролей и стал одним из ведущих актеров малого театра.
Актёр стал известен благодаря таким проектам как - "ТАСС уполномочен заявить…” ; "Д`Артаньян и три мушкетера”; “Шерлок Холмс и доктор Ватсон” и других. Но многим зрителям он больше всего запомнился из-за его за роли Николая Петровича в сериале “Воронины”.
В конце 1990-х – начале 2000-х актер снялся в таких известных сериалах и фильмах, как: "Д.Д.Д. Досье детектива Дубровского" (1999), "На углу у Патриарших" (1995), "Каменская" (2002), "Слепой" (2004), "Девять неизвестных" (2005), "Любовь моя" (2005), "Защита Красина - 2" (2006) и других.
Был женат третьим браком на Виктории Клюевой, супруги прожили вместе 45 лет.
В 2018 году в СМИ просочилась информация о том, что Борис Клюев заболел онкологическим заболеванием. Сам актер воздержался от комментариев по поводу своего состояния здоровья. Артист, несмотря на болезнь, продолжал сниматься в кино и играть в театре. Вскоре на экраны вышла лента «Годунов», где Борис сыграл серьезную роль митрополита Дионисия. Известно, что Борис уже с болезнью снимался в сериале «Улицы разбитых фонарей», а свой день рождения он встретил вместе с коллегами по сериалу «Воронины». В 2019 году Борис лично подтвердил, что у него рак легких. Тем не менее, несмотря на боль и дискомфорт, метр продолжал трудиться, чтобы радовать зрителя.