Александр Сергеевич Соболев родился 7 марта 1997 года на Алтае, в Барнауле. Имя и отчество мальчику досталось в честь дедушки. Он рос активным, сильным ребенком, который участвовал в дворовых драках и часто одолевал соперников. Сейчас Александр вспоминает: «В детстве чуть что — сразу кулаки. Я был большим, сильным, и если кто-то говорил обидное мне, то я сразу бил». Парень по натуре лидер, и это ему помогло сделать карьеру футболиста — нападающего. До 12 лет его кумиром был игрок мадридского «Реала» Луиш Фигу. Еще мальчик увлекался игрой Златана Ибрагимовича.
У Александра теплые и доверительные отношения с родителями. Отец — заводской человек, собирает детали, а мать преподает аквааэробику. С отцом разница в возрасте у парня 20 лет, поэтому они «как два брата, как друзья». До 14 лет Саша был высоким, а потом пришлось 2-3 года просидеть на скамейке запасных, пока снова не вырос. Сейчас его рост составляет 195 см, а вес — 85 кг. Он вспоминает, что в юности пробовал себя на позиции вратаря, но после нескольких десятков пропущенных мячей снова вернулся в нападающий состав. До 2015 года Александр играл за ФК «Динамо» Барнаул и входил в состав сборной Сибири. Перед началом сезона 2016/2017 молодой футболист перешел в молодежный состав томского клуба «Томь». Той осенью он сыграл в 15 матчах и забил 9 голов. В декабре 2016 гола Александр впервые вышел на поле в основном составе «Томи» в игре против «Уфы». Апрель 2017-го ознаменовался в биографии спортсмена первом голом в домашнем матче против казанского «Рубина». Он посвятил этот забитый мяч новорожденному сыну. Играя сезон в основном составе, Александр забил 3 гола.
В декабре 2017 года игрок подписал 4-летний контракт с «Крыльями советов». В марте 2018-го во время дебютного матча против петербургского «Динамо» бомбардир забил первый гол. В апреле футболист забил 3 гола в матче со «Спартаком-2». В сезоне 2018/2019 Соболев на правах аренды играет за красноярский футбольный клуб «Енисей». С этого же сезона нападающий выступает в основном составе «Крыльев советов». Летом 2019-го прошла игра «Томь» – ЦСКА, которая завершилась со счетом 2 : 0 в пользу томского клуба. Александр забил гол и получил звание «Лучший бомбардир месяца Российской Премьер-лиги». Молодой человек не скрывает личную жизнь от фанатов. 23 июля 2016 года в 19 лет Александр Соболев женился на девушке, с которой познакомился в новогоднюю ночь в общей компании. Очаровательная супруга Елена гордится мужем, о чем говорит статус в «Инстаграме» — «жена футболиста». 25 февраля 2017-го у пары родился сын Сергей. Молодые люди много путешествуют и делятся фото с поездок в социальных сетях. В конце 2018 года Александр с Еленой отдохнули в Дубае. Летний отпуск в 2019-м семья провела в Анталии. Летом 2019 года футболист, отступные которого составляют около € 2 млн, имел шансы перейти в московский ЦСКА, на что он в интервью ответил: «Думаю, что не уйду. Никуда пока не собираюсь. Меня все устраивает в “Крыльях”».
9 января 2020 года перешёл в московский «Спартак» на правах аренды, соглашение рассчитано до конца сезона 2019/2020. Стоимость аренды составила € 500.000, в соглашении прописана сумма выкупа прав на футболиста по окончании сезона — € 4.500.000, также с лета зарплата Соболева в «Спартаке» должна составить около € 1.800.000 за сезон плюс бонусы за командные достижения, она выросла в 5 раз по сравнению с «Крыльями» (2,2 миллиона рублей в месяц). Перед началом сезона 2020/21 Соболев сменил 77-й игровой номер на 7-й, под которым ранее играл Аяз Гулиев. 9 августа 2020 года в домашнем матче 1-го тура чемпионата России с «Сочи» (2:2) на 8-й минуте с передачи Романа Зобнина забил первый мяч «Спартака» в новом сезоне[26], также по итогу матча был признан лучшим игроком. 23 августа 2020 года в матче 4-го тура чемпионата России против московского «Локомотива» (2:1) на 58-й минуте вышел на поле вместо Эсекьеля Понсе и 81-й минуте матча с передачи Алекса Крала забил мяч, который принёс «Спартаку» победу в дерби. 29 августа 2020 года в домашнем матче 6-го тура чемпионата России против тульского «Арсенала» (2:1) вышел в стартовом составе и провёл на поле весь матч, а на 41-й минуте с передачи Зелимхана Бакаева забил мяч.