Константин Иванович родился 17 июня 1845 года в семье протоиерея Иоанна Афанасьевича (1819–1896) и Екатерины Константиновны, урожд. Несвицкой (1822–1886). Мать Константина Ивановича была родной сестрой супруги отца Иоанна Кронштадтского, матушки Елизаветы. Многие их родственники были священниками. Отец Иоанн Ветвеницкий больше 30 лет служил в храме Воскресения Христова при больнице святого Пантелеймона для душевнобольных в Петербурге, на Фермском шоссе дом 34. Константин Иванович был женат на Ольге Павловне (1849– 1901), дочери священника Павла Солярского (1803– 1890).
Окончив Санкт-Петербургскую духовную семинарию (1867) и магистратуру Петербургской духовной Академии (1871), Константин Иванович в 1872 году получил назначение в Пантелеймоновскую церковь при городской больнице душевнобольных на станции Удельная, а с 15 июля 1874 года назначен священником и законоучителем в Елизаветинском училище. Он преподавал также в Третьей мужской гимназии в Петербурге. По воспоминаниям его внука К. И. Шафрановского, в то время Константин Иванович жил в квартире, которая «находилась в здании гимназии, внизу на уровне улицы».
Отец Константин был трудолюбивым человеком, внимательным к своей пастве. 1876 году был награжден бархатной скуфьей, в 1881 году – камилавкою. По представлению попечителя Санкт-Петербургского учебного округа «за усердную и полезную службу» в 1884 году – золотым наперсным крестом, 14 мая 1896 года награжден орденом святой Анны 2 степени, 11 мая 1911 года император Николай пожаловал ему митру работы Жевержеева. С 1 августа 1886 года протоиерей Константин Ветвеницкий был зачислен в штат преподавателей Технического училища Почтово-телеграфного ведомства (ныне Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет).
Летние месяцы отец Константин проводил в Териоках, где окормлял православную паству этого дачного места. Служил в Казанской церкви и преподавал в Русской школе. В Териоках на даче у отца Константина бывал святой праведный Иоанн Кронштадтский.
12 мая 1895 года отца Константина перевели священником в церковь при Главном Управлении Уделов на Литейном проспекте, дом 39. Церковь эта была не приходской, поэтому службы в ней проводились по особому расписанию. Однако, по свидетельству современников, в среде петербургской интеллигенции Константина Ивановича хорошо знали и стремились договориться, чтобы он окрестил младенца, исполнил обряд венчания, либо принял исповедь. Он крестил знаменитого русского писателя Владимира Набокова. Отец Константин бывал в семье финляндского генерал-губернатора Федора Логгиновича Гейдена и его супруги Елизаветы Николаевны и встречался там с философом В. Соловьевым.
После Октябрьского переворота, священникам, в виде исключения, разрешалось преподавать, но уже не богословие, и в 1919 году отец Константин выразил желание читать в ЭТИ «Историю этических учений», но ему это позволено не было.
Скончался протоиерей Константин Иванович Ветвеницкий 13 февраля 1920 года.