"Друг с другом" - это предложное сочетание. Предложное сочетание - это такое сочетание, в котором связь элементов осуществляется при помощи предлога. Следовательно, предлог всегда должен стоять после первой части, а не перед ней.
Такие предлоги, как К, НА, ОТ, С, У, всегда стоят после первой части словосочетания. Сравните: интерес друг к другу, смотреть друг на друга, устать друг от друга, спрашивать друг у друга.