Как я указывал ранее, линейное программирование предоставляет эффективный инструментарий для решения разнообразных экономических задач (детальнее здесь). Удивительно, но этот механизм несмотря на исключительную полезность не часто упоминается в литературе. В этой статье расскажу подробнее о технике решения соответствующих проблем с использованием языка Python и его библиотеки SciPy.
Рассмотрим следующую задачу:
“Найти оптимальное сочетание посевов пшеницы и кукурузы на участках различного плодородия площадью 100 и 200 га. Данные об урожайности приведены в таблице:
Условия: должно быть собрано не менее 1500 ц. пшеницы и 4500 ц. кукурузы, цена одного ц. пшеницы - 6 руб., кукурузы - 4 руб. Наша задача - максимизация выручки продукции в денежном выражении”.
Напомню общий вид модели линейного программирования:
Построим систему уравнений:
Для решения воспользуемся библиотекой SciPy, в которой есть специальная функция linprog (из модуля scipy.optimize). Для получения результата ей необходимо аккуратно задать коэффициенты при неизвестных значениях (xij) целевой функции, которую надо минимизировать, а также коэффициенты и ограничивающие значения при всех неравенствах (вида <=) и равенствах (конечно, если они есть). С учетом условий работы функции нам потребуется преобразовать задачу нахождения максимума в задачу минимизации (для этого достаточно умножить функцию на “-1”), а также преобразовать неравенства к единому виду. Привожу изменения :
Результат будет выглядеть следующим образом:
c11 = h11*c1
c12 = h12*c1
c21 = h21*c2
c22 = h22*c2
# коэффициенты в целевой функции
c = [-c11,-c12,-c21,-c22]
# в A_ub и b_ub задаются неравенства
# в виде коэффициентов для каждого в строках A_ub
# и соответствующих им ограничивающих значений в строках b_ub
A_ub = [[-h11,-h12,0,0],
[0,0,-h21,-h22],
[1,0,1,0], [0,1,0,1]]
b_ub = [-1500,-4500,100,200]
linprog(c, A_ub, b_ub)
Обратите внимание, что нулевые коэффициенты стоят при отсутствующих членах в соответствующих неравенствах.
В результате получается, что на первом участке посажено 75 га пшеницы и 25 га кукурузы, на втором - 200 га кукурузы. При этом кукурузы собрали на 2375 ц. больше запланированного минимального объема. Всего заработано 36 тыс. 500 руб.