Самые интересные задачи ЕГЭ по математике идут под номером 19, их условия предельно ясные, часто формулируются в рамках 5-6 классов, а решение требует определённого "полёта мыслей".
Для начала рассмотрим одну из таких задач:
" Условие. На доске написаны несколько различных натуральных чисел, произведение любых двух из которых больше 40 и меньше 100.
а) Может ли на доске быть 5 чисел?
б) Может ли на доске быть 6 чисел?
в) Какое наибольшее значение может принимать сумма чисел на доске, если их четыре? "
Прежде чем решить данную задачу, договоримся о том что, если вы отвечаете "ДА", то ваше "да" стоит подкрепить примером. Но а если вы отвечаете "НЕТ", то докажите это "нет" строго и формально.
Например: В пункте а нас спрашивают: Может ли на доске быть 5 чисел? Давайте решим эту лёгкую задачу.
Во-первых эти пять чисел: 6, 7, 8, 9, 10 - удовлетворяют условию задачи, то есть какие-бы мы два числа не умножали- их произведение будет больше 40, но меньше 100 (на самом деле хватит того что 6*7>40, а 9*10<100), то есть если наименьшее произведение больше 40, то все остальные и подавно. Если наибольшее произведение меньше ста, то и остальные произведения и подавно.
⇒ Наш ответ "ДА" .
Теперь приступим к пункту б, а затем ещё и к в.
Сразу скажу, что мне уже довилось видеть и слышать около шести, семи решений, но все они оказались, на мой взгляд, не достаточно строгими. Иногда осуществляется перебор, но не полный, иногда констатируется что числа обязательно должны быть по соседству, но почему-то это не доказывается, самое красивое и строгое что я увидел, это разбор Бориса Трушина, у него всё было чётко и по-полочкам, поэтому я считаю важным донести ту мысль которую его разбор действительно выделяет лучшую сторону, но и самобытность терять не хочется, поэтому в пункте в- мы сделаем немного другие акценты.
Решаем пункт б. Но предположим, что можно записать все шесть чисел на доску, обозначим их как
a, b, c, d, e, f.
Расположенные по порядку числа имеют долю возрастание F- большее число, A- меньшее число.
Заметьте, что если ab больше 40, то из этого напрямую следует, что квадрат числа b- строго больше 40, ведь b было больше a, значит б не менее 7. То есть нам удалось оценить второе число, оно тут либо, 7 либо 8, может быть больше, но никак не меньше.
Теперь запишем оценку на произведение старших чисел, где e*f строго больше 100
Из этого следует, что квадрат числа e строго меньше 100, получается само e не превосходит 9.
Таким образом, нам удалось оценить предпоследнее число, может быть оно 9, может быть 8, может меньше, но никак не больше, и вот проблема: b не менее 7, e не более 9, то есть между ними есть только 8, а мы на её место хотим "втиснуть" два числа, но так не получится. Кароче говоря мы получили противоречие, которое доказывает, что в пункте b размещение 6-ти чисел невозможен. Ответ в пункте b: нет.
Осмыслите это как следует, возьмите на вооружение оценки для числа b и e, и у вас обязательно получится пункт в.
В пункте в нас спрашивают: Какое наибольшее значение может принимать сумма чисел на доске, если их четыре? .
Попробуем со свежей головой взглянуть на задачу с другого ракурса.
Пусть у нас есть четыре числа. Теперь попробуем выяснить каким может быть число a.
1) Заметьте, что в нашем наборе невозможны два двузначных числа, у нас же числа различны, натуральные.
Вот произведение двух минимальных из них уже больше 100. Будем иметь это ввиду, но не забудем про a. Вот что будет если a=5, тогда b как минимум 9, что-бы произведение a на b было больше 40, но тогда в нашем наборе есть два двузначных числа- противоречие!
2) Хорошо, значит такой вариант нам не нужен. А что будет если a меньше 5, тогда даже b будет двузначным (я даже молчу про с и d) такие варианты точно не годятся. Но а если a больше либо равно 8, то опять есть два двузначных числа-противоречие.
Таким образом, мы установили что а может быть равно только либо 6, либо 7.
3) А теперь важно очень аккуратно сделать полный перебор. Чтобы было меньше писанины, советую ограничить числа, например число 10 это не конечное число, в любой конфигурации мы могли бы написать 11, потому что остальные числа у нас однозначные, то есть даже если предпоследнее число 9, то 9*11- это всё-ещё меньше ста.
С учётом всего этого начинаем перебор, второе число может быть 7, ну а может быть 8. Возможны любые варианты, самые интересные из них это последний четвёртый 67812.
Смотрите, 8*12 это всё ещё 96, то есть меньше ста, самый "крутой" вариант из всех полученных это второй (68911), сумма всех его чисел 34, если первое число 7 то второе и третье обязательно 8 и 9 (то есть 78911), тут нет вариантов, наибольшее четвёртое число которое подходит под условие это 11, и именно это задаёт ответ. Ответ 35.