Теорема о сумме коэффициентов - очень быстрый и изящный способ решения квадратных уравнений, зная данный способ, можно найти корни уравнения буквально за несколько секунд.
Начнем с теории: есть несколько вариантов трактовки данной теоремы, я предлагаю записать ее следующим образом:
То есть, если при сложении коэффициентов а и с получается коэффициент b, то сразу пишем в ответ -1 и -с/a .
Например, решим уравнение
2x² - 3x - 5 = 0
Коэффициенты в уравнение следующие: a = 2, b = -3, c = -5. Вот оно - счастье! Мы видим, что если сложить коэффициенты a и с, т. е. 2 и -5, получится -3, а ведь это и есть наш коэффициент b, все в точности как во второй строчке из теории. Значит, мы уже можем писать ответ x₁ = -1,
x₂ = -(-5)/2. Ну ладно, не совсем сразу) Но осталось просто "причесать"
x₂ => -(-5)/2 = 2,5.
Посмотрите ещё раз все наши рассуждения на анимации:
Давайте решим следующее уравнение:
2x² + 5x - 7 = 0
Примечаем коэффициенты a = 2, b = -5, c = -7. Суммируем а и с:
2 + (-7) = -5. И вновь удача! Теперь мы попали на первую строчку теории. Коэффициент b в нашем уравнении +5, а сумма получилась с минусом (-5).
Значит и в ответ запишем x₁ = 1, x₂ = (-7)/2 = -3,5.
Внимание на анимацию ↓↓↓
Надеюсь с теоремой освоились, закрепляем полученные знания =)
а) 15x² + 29x - 44 = 0
Коэффициенты:
a = 15 b = 29 c = -44
↓↓↓
a + c = 15 + (-44) = -29
↓↓↓
b = 29, a + c = -29 ( знаки отличаются, значит 1 строчка из правила)
↓↓↓
x₁ = 1, x₂ = (-44)/15 = -2 ¹⁴/₁₅
б) -4x² + 5x + 9 = 0
Коэффициенты:
a = -4 b = 5 c = 9
↓↓↓
a + c = -4+ 9 = 5
↓↓↓
b = 5, a + c = 5 ( знаки одинаковые, значит 2 строчка из правила)
↓↓↓
x₁ = -1, x₂ = -(+9)/(-4) = 2,25
Подведем итог: теорема о сумме коэффициентов действительно помогает устно решать квадратные уравнения. К сожалению, она не так универсальна как нам хотелось бы, но это ничуть не уменьшает ее значение и красоту. Главное не забывать, что у каждого коэффициента свой знак из условия, и что в теории под коэффициентами a, b и с подразумеваются не только положительные значения.
Если же вы первое время путаетесь со знаками коэффициентов, то можете выбирать нужную строку правила, подставив в исходное уравнение 1 или -1. Таким образом, вы сориентируетесь, как найти второй корень уравнения.
Вот несколько уравнений для тренировки:
Пишите в комментариях свои ответы, задавайте вопросы, кто дочитал статью и смог понять теорему - большие молодцы! =)