Сегодня мы расскажем вам историю красивой теоремы. Она была открыта по историческим меркам недавно — в 18 веке. Удивительно, что эта теорема названа именем шотландского математика Роберта Симсона, а доказана другим — Уильямом Уоллесом.
В первой части статьи мы сформулируем и докажем теорему о прямой Симсона, а во второй — расскажем её нетривиальную историю.
Чтобы понять теорему нужно вспомнить:
- понятие окружности, описанной вокруг треугольника;
- свойство угла, вписанного в окружность;
- свойство медианы прямоугольного треугольника.
Теорема звучит так:
Основания трех перпендикуляров, опущенных из произвольной точки окружности, описанной около треугольника, на прямые, содержащие стороны этого треугольника, лежат на одной прямой.
Чтобы лучше понять формулировку, посмотрим на картинку. Из произвольной точки (например, P) опустим перпендикуляры на прямые, содержащие стороны треугольника ABC. Три точки, являющиеся основаниями перпендикуляров (L, M, N), лежат на одной прямой (она красного цвета). Она называется прямой Симсона. Это утверждает наша теорема. Приступим к её доказательству.
Доказательство:
Пусть, как и раньше, основания перпендикуляров — это точки L, M и N. Рассмотрим треугольники APL и APM.
Они оба прямоугольные, и при этом имеют общую гипотенузу AP. Это значит, что окружность, построенная на AP как на диаметре, проходит через точки L и M. Иными словами, точки L, P, M и A лежат на одной окружности. Углы APL и AML являются вписанными в эту окружность и опираются на одну дугу, следовательно, они равны. Теперь рассмотрим треугольники PMB и PNB. Они тоже прямоугольные и тоже имеют общую гипотенузу PB. Рассуждая как и раньше, видим что углы BPN и BMN тоже равны между собой.
Теперь рассмотрим углы PBC и PAC. Они опираются на дуги, дополняющие друг друга до полной окружности, откуда следует, что эти углы дополняют друг друга до развернутого. Угол PAL является смежным с углом PAC и потому равен углу PBC.
Опять вернемся к треугольнику APL. Он прямоугольный, значит, сумма углов APL и PAL равна 90°. Аналогично, сумма углов BPN и PBN тоже равна 90°. Итак, мы получаем следующую цепочку равенств:
∠AML=∠APL= 90°–∠PAL= 90°–∠PBN=∠BPN=∠BMN
Таким образом, мы доказали, что равны углы AML и BMN. Но это и означает, что отрезки ML и MN образуют одну прямую.
Доказательство завершено!
Кстати обратная теорема тоже верна, попробуйте её доказать:
Если основания перпендикуляров, опущенных из некоторой точки на стороны треугольника, лежат на одной прямой, то эта точка лежит на описанной окружности треугольника.
Шотландский математик Роберт Симсон (не настоящий автор теоремы) предпочел занятие математикой богословию и большую часть жизни посвятил восстановлению работ Евклида и других греческих геометров. Его труды стали фундаментом для обучения геометрии в школе, а его учебник по геометрии переиздавался даже спустя 200 лет после его создания!
Вероятно из-за огромного авторитета Симсона ему приписали авторство данной теоремы. А также из-за того, что настоящий автор, Уильям Уоллес, тоже жил в Шотландии. Он родился за 8 дней до смерти Симсона, был школьным учителем математики и писал статьи для Трудов Королевского общества Эдинбурга. В одной из них и была данная теорема.
По иронии ещё одна теорема Уоллеса носит имя другого математика. Это теорема о точке Микеля. Но не стоит переживать о несправедливости судьбы: Уоллес был значительным человеком своего времени, профессором университета в Эдинбурге и вошёл в историю как изобретатель пантографа — чертёжного инструмента, позволяющего перечерчивать чертежи или карты в другом масштабе. Придуманное им шарнирное соединение используется в конструкции токоприемников даже сейчас — это всем известные рожки у трамваев и электричек.