Эта задача находится в учебнике по геометрии за 8 класс. Авторы А.Г. Мерзляк , В.Б. Полонский , М.С. Якир. Номер задачи №264.
Текст задачи привожу ниже.
Диагональ прямоугольной трапеции разбивает её на два треугольника, один из которых является равносторонним со стороной a. Найдите среднюю линию трапеции.
Придя ко мне на урок, ученик подал тетрадь и сказал, что домашнюю работу, как он только не решал, решить не смог. Учитывая, что такая проблема может возникнуть не только у него, привожу здесь развернутое решение. Оно может пригодиться и вам. А если вы готовитесь к ОГЭ или ВПР за 8 класс, то и освежить в памяти пройденный материал.
В задаче сказано, что один треугольник образуется равносторонний! То есть стороны АВ=ВС=СА. Может ли такое быть? НЕТ! Так как АВСО образуют квадрат в котором все стороны равны. А это значит диагональ проведенная из вершины А в вершину С не может быть равной любой стороне квадрата ABCO. Соответственно, мы приходим к выводу, что чертеж не верный и решить задачу по данному чертежу невозможно.
Нарисуем другой, такой,чтобы условия задачи выполнялись.
Здесь намного больше обозначений. Многие сразу пугаются. Но на самом деле все проще чем кажется и сейчас мы с вами это увидим.
Треугольник ACD по условию задачи равносторонний и одна его сторона равна a. Это значит что AC= CD= AD= a. Также мы видим медиану CO. В равностороннем треугольнике она делит сторону AD на две равные части. Тогда AO=OD. Соответственно, сторона AD=AO+OD то есть a/2 + a/2 = a.
Мы видим, что образовался прямоугольник ABCO т.к. ∡ A= ∡ O = 90 ° . В нем BC=AO= a/2.
Итак, нам известны основания трапеции ABCD, ВС = a/2 , AD=a. С этими данными найти среднюю линию MN в трапеции ABCD не составит труда. Для начала, вспомним уравнение и теорему о средней линии трапеции. Здесь мы не будем подробно ее разбирать, а просто воспользуемся ей для решения нашей задачи.
Теперь подставим в уравнение наши данные и решим его!
Таким образом, мы решили задачу. Поздравляю.
Когда решаете задачу по геометрии, внимательно читайте ее условия. С такой же тщательностью составьте чертеж. Правильность его составления это 50% успеха.
Еще больше статей по геометрии и алгебре можно найти у меня на канале.