Решение треугольников — это одна из классических задач геометрии. Смысл её состоит в том, чтобы по одним известным элементам треугольника найти другие элементы треугольника. Обычно этими элементами являются три стороны и три угла, но удобно расширить задачу до большего количества элементов (высоты, медианы, биссектрисы, вписанная и описанная окружности, площадь, периметр и т.д.). Эта задача часто встречается в различных прикладных областях, вроде геодезии, навигации, астрономии, и считается главной задачей тригонометрии. Название этой науки с древнегреческого так и переводится — “измерение треугольников”.
Нас же интересует решение треугольников не для практических расчётов в реальном мире, а как ключевой элемент для освоения продвинутой геометрии. Именно решение треугольников является тем самым фундаментом, на который опирается вся подготовка к экзаменационным задачам. И именно решение треугольников пронизывает любые количественные планиметрические задачи.
Любое решение треугольников в экзаменационных задачах используется в трёх случаях.
Первый случай — когда в треугольнике надо по каким-то элементам треугольника явно находить недостающие. Это бывает в задачах одноходовках или в тех, в которых решение треугольников не является важной частью решения. Например, когда надо единожды найти угол по трём сторонам в треугольнике. В таких задачах обычно нужно просто знать одну из формул и уметь её применять. Например, чтобы найти угол по трём сторонам надо применить теорему косинусов.
Второй случай (это расширение первого) — когда недостаточно одной формулы и в задаче нужно поэтапно находить значения недостающих элементов. Это может осуществляться в рамках одного треугольника (например, по трём сторонам узнать радиус описанной окружности), а может быть в рамках целой конструкции. В обоих случаях в решении будет целая цепочка преобразований. Поэтому важно не только знать формулы, но и видеть взаимосвязи между ними. Например, для поиска радиуса описанной окружности по трём сторонам, можно поступить так. Сначала найти косинус угла по трём сторонам. Потом через основное тригонометрическое тождество найти синус угла. А потом найти радиус из теоремы синусов. Подобные задачи часто решаются несколькими способами.
Есть и третий способ — надо обозначить за неизвестные некоторые элементы и, используя формулы для решения треугольников, составить уравнения. Дальше надо пробовать их решить. Здесь вам понадобятся не только знание формул и вычислительные навыки, но и навыки решения уравнений. Причём эти уравнения могут быть довольно устрашающими, содержащими не только тригонометрию, но и далеко не линейные алгебраические зависимости. Поэтому нужно уметь аккуратно решать системы уравнений и на хорошем уровне знать тригонометрию со всей её вычислительной мощью.
Есть задачи, которые без решения треугольников победить невозможно. Есть те, которые решаются лишь путём использования каких-то более глубоких геометрических фактов. Но тут всегда есть две крайности: либо всегда искать красивое эффектное решение, либо всегда решать в лоб, составляя многоэтажные уравнения и переходя в чисто алгебраическую и тригонометрическую плоскость. Первым недостатком особенно страдают олимпиадники-эстеты, которым “лень вычислять”. Вторым — олимпиадники-алгебраисты, которые упёрлись в алгебру и игнорируют чисто геометрические подходы. Нам же нужно помнить, что истина где-то посередине и нужно пробовать найти самый эффективный способ решения для конкретной задачи.
У применения решения треугольников есть и важная психологическая составляющая. После оcвоения этого комплекса приёмов у вас возникнет пространство для манёвра. Это позволит вам не только пополнить свою и копилку инструментов, но и всегда понимать, что вы можете решить задачу, даже выбрав окольный путь и решив её “некрасиво”. И задачи будет гораздо проще решать, если вы не боитесь, что какой-то геометрический приём вы забудете из-за стресса на экзамене.
Это была небольшая вводная про решение треугольников. В следующих статьях поговорим про сами формулы решения треугольников, про то, как прокачивать этот навык, и разберём некоторые примеры, показывающие силу и слабость этого метода решения.