Всем привет, меня зовут Андрей, это снова я!
В нескольких прошлых статьях я рассказывал о том, как с помощью трех троек, а также математических функций и операций можно получить любое число от ноля до двадцати включительно. Для каждого из чисел я показывал только один из возможных вариантов, например:
0 = 3 * (3 - 3); 1 = 3^(3-3)
- Действительно, если любое число умножить на 0, то будет 0, а если это число возвести в нулевую степень, будет единица. Любое число, отличное от нуля, даст единицу при возведении в нулевую степень.
Но данная задача – получить единицу или ноль, используя только три тройки и разные математические функции и операции, имеет достаточно много решений. Давайте начнем с самого начала.
Первый этап. Какие числа можно получить, используя только одну тройку.
- sgn(3) = 1. Напомню, что sgn – это функция «знак». Эта функция принимает всего три значения, поскольку знак положительного числа – это единица, отрицательного – минус единица, знак нуля – нуль;
- 3 = 3. Можно использовать просто тройку, без всяких математических формул;
- 3! = 6 (факториал трех равен шести);
- (3!)!! = 48 (двойной факториал факториала трех равен 48);
- (3!)! = 720 (факториал факториала трех равен 720).
Конечно же, данный список можно продолжить, но мы пока ограничимся этими пятью цифрами.
Второй этап. Какие числа можно получить, используя две тройки:
- с использованием сложения:
- с использованием вычитания:
В данной ситуации мы берем только модуль разности. если брать не модуль разности, а всю разность, то ситуация будет другой. Но, в любом случае, даже если мы будем брать и отрицательные числа тоже, то число возможных вариантов получения нуля из трех троек будет только больше.
- с использованием умножения:
- с использованием деления:
- с использованием возведения в степень:
Слишком большие числа мы пропустили.
Затем возникает вопрос: надо ли удалять все повторы, то есть одинаковые числа, полученные на предыдущем этапе? На этот вопрос однозначно ответить нельзя. Все зависит от ситуации. Во-первых, у нас есть 5 групп чисел: сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень. В пределах каждой из групп нужно принимать отдельное решение, удалять или нет повторы.
Так, например, если речь идет о сложении – то лишние удалять надо, поскольку 3! + sgn (3) = sgn (3) + 3!, то есть в этом случае не просто один и тот же результат, но также одно и то же математическое выражение. Но если речь идет о возведении в степень, то тут повторы удалять нельзя – хотя 1 в степени 1 [или, другими словами, (sgn(3))^sgn(3)], и равно 1 в степени 6 (то есть, (sgn(3))^3!, но это уже совсем разные математические выражения. Поэтому мы будем удалять повторяющиеся значения только в пределах групп: сложение, умножение, вычитание, и деление. И если после этого получатся одинаковые значения в разных группах, мы их не будем объединять, поскольку, например, хотя 3+3 и равно 1 * 6, а также 6^1, но это уже разные математические выражения.
Что касается вычитания – тут ситуация аналогичная. Поскольку мы брали не просто разность, а модуль разности, то 6-1 = 5 и 6-1 тоже равно 5, здесь совпадают не только результаты, но и конкретные математические выражения, поэтому одна из пятерок будет лишней. Но 1-1=0 и 6-6=0, при этом все математические выражения будут разными, а потому все ноли останутся на месте.
После того, как мы убрали повторы в тех группах чисел, где это необходимо, а затем объединили полученные группы чисел, мы должны из этой объединенной группы чисел сложить единую базу данных.
При этом в объединенной базе данных могут находиться повторы – ведь, хотя 720 * 1 = 720 / 1, это снова разные математические выражения.
Эту единую базу данных можно получить, просто собрав нужные нам числа в один столбик. Если все эти цифры отсортировать по возрастанию, то получится 74 числа, в начале этого списка – 5 нолей, 11 единиц, 3 двойки, 4 тройки и так далее.
Затем приступаем к следующему этапу решения задачи. У нас теперь есть две базы данных. Первая – числа, которые можно получить из одной тройки, и вторая – числа, которые можно получить из двух троек. Точно так же, как мы получали вторую базу из первой, мы получим третью базу из второй. И точно так же, в начале будем получать числа, которые можно получить путем сложения каждого из чисел первой базы с каждым из чисел второй базы. Конечно же, после сложения будут вычитание. умножение, деление и возведение в степень.
В принципе, задача решена. При желании можно получить что-то типа сводной таблицы, например в таком виде:
Что находится в столбцах данной таблицы?
- BE – просто числа от 0 до 22 (их там гораздо больше, просто в данном случае представлен только фрагмент всей таблицы);
- BF – количество разных вариантов, при которых три тройки дадут то число, что расположено в столбце BE (например, 0 можно получить минимум сотней разных способов);
- BG – суммарный подсчет нолей в предыдущем столбце (от начала до текущей строки);
- BH – суммарный подсчет самих вариантов (для единицы: сколько вариантов для ноля+сколько вариантов для единицы) и т.д.;
- BI – уточнение: сколько из тех вариантов, которые есть в столбце BF, получено путем сложения (например, если 5 = 3+3!/3, то это значит, что пятерка – это есть результат суммирования чисел 3 и 2). Очевидно, что двойку мы получили во время предыдущего этапа, разделив факториал трех на три.
Следующие столбцы аналогичны столбцу BI – кроме сложения, есть еще умножение, вычитание, деление и возведение в степень.
Кстати, насчет сотни вариантов, с помощью которых три тройки могут получить в результате ноль. На самом деле основных вариантов будет чуть больше, чем сто. Разберем основные варианты:
Варианты умножения, деления и возведения в степень вполне очевидны. Пусть f (x) – это функция, принимающая 5 разных значений: 1 (потому что 1 = sgn(3)); 3; 6 (потому что 6 = 3!); 48 (потому что 48 = (3!)!!; и 720 (потому что 720 = (3!)!. Пусть также g(x) – тоже функция, принимающая те же самые 5 значений.
Тогда очевидны следующие варианты:
25 вариантов умножения принципу:
(f(x)-f(x)) * g(x)
например,
(3! - 3!) * sgn(3)
первый множитель sgn(3)-sgn(3); 3-3; 3!-3!; (3!)!!-(3!)!! и (3!)!-(3!)!.
Очевидно, что второй множитель – это просто sgn(3); 3; 3!; (3!)!! и (3!)!.
Конечно же, всего комбинаций при таких множителях будет 25.
Аналогичные ситуации будут с возведением в степень (f(x)-f(x))^g(x) – это тоже 25 вариантов, например:
(3-3)^3!
поскольку ноль в любой ненулевой степени это 0,
и с делением:
(f(x)-f(x))/g(x)
например:
(3!-3!)/(3!)!
это 0, т.к. 0, разделенный на любое число кроме ноля, это ноль.
А вот с вычитанием все не так просто.
Вот 25 основных вариантов:
- 3! - (3+3) = 0
- 3 - (3! - 3) = 0
- sgn(3) - sgn(3) * sgn(3) = 0
- 3 - 3 * sgn(3) = 0
- 3! - 3! * sgn(3) = 0
- (3!)!! - (3!)!! * sgn(3) = 0
- (3!)! - (3!)! * sgn(3) = 0
- sgn(3) - sgn(3) / sgn(3) = 0
- 3 - 3 / sgn(3) = 0
- 3! - 3! / sgn(3) = 0
- (3!)!! - (3!)!! / sgn(3) = 0
- (3!)! - (3!)! / sgn(3) = 0
- sgn(3) - 3/3 = 0
- sgn(3) - 3! / 3! = 0
- sgn(3) - (3!)!! / (3!)!! = 0
- sgn(3) - (3!)! / (3!)! = 0
- sgn(3) - (sgn(3))^sgn(3) = 0
- 3 - 3^sgn(3) = 0
- 3! - 3! ^ sgn(3) = 0
- (3!)!! - (3!)!! ^ sgn(3) = 0
- (3!)! - (3!)! ^ sgn(3) = 0
- sgn(3) - (sgn(3))^3 = 0
- sgn(3) - (sgn(3))^3! = 0
- sgn(3) - (sgn(3))^(3!)!! = 0
- sgn(3) - (sgn(3))^(3!)! = 0
Кроме того, в каждом из этих последних 25-ти вариантов можно поменять местами уменьшаемое и вычитаемое - в нашем случае, результат (разность) не изменится, но это уже будут другие выражения.
Кроме того, если верно равенство f(x)-(f(x))/1 = 0, то вместо f(x) можно брать вообще любую функцию. Главное, вместо x поставить тройку.
Примеры:
sin(3)-sin(3)/sgn(3) = 0;
ln(3)-ln(3)/sgn(3)
tg(lg(3))- tg(lg(3))/sgn(3) = 0
и т.д. Можно брать любую функцию, а также любое сочетание из вложенных функций.
То же самое можно сделать и с другими вариантами, которые мы здесь рассматривали, например:
tg(3)-tg(3)^sgn(3) = 0
cos(3)-cos(3)*sgn(3) = 0
и т.д.