Предыдущий урок: Физика для чайников. Урок 14. Уравнение состояния идеального газа
Понятие энтропии я кратко упомянул на уроке Физика для чайников. Урок 13. Что такое температура. Напомню, что энтропия – это мера хаоса. С температурой ее связывает вот эта формула:
Напомню, что dE – это бесконечно малое приращение энергии, а dS – это бесконечно малое приращение энтропии. Таким образом, температура – это скорость изменения энергии в зависимости от энтропии.
Тогда
Что следует из этой формулы? Увеличивая энергию, мы увеличиваем и энтропию. Но увеличение энергии при большой температуре практически не влечет увеличение энтропии, а вот при малой резко увеличивает энтропию. На самом деле не очень понятно. Потому рассмотрим другое определение энтропии, так называемую энтропию Больцмана:
Здесь k – это постоянная Больцмана, равная примерно 1.38*10^-23 Дж/К, ln – так называемый натуральный логарифм (в какую степень надо возвести e, которое примерно равно 2.72, чтобы получить заданное значение). А закорючка – это буква омега, которая обозначает количество возможных микросостояний, которыми можно составить данное макросостояние.
Давайте разберемся, а что такое микросостояние и макросостояние. Давайте представим, что все атомы (молекулы) пронумерованы и помещены в разные виртуальные (воображаемые) ячейки, причем, в одной ячейке может быть несколько частиц (атомов, молекул). Эта воображаемая ячейка – некоторое состояние, которое может принимать частица. Тогда конкретное распределение частиц по ячейкам называется микросостоянием. А вот вся совокупность численных распределений – это макросостояние. Например, ячейки всего лишь две. Частиц – три, с номерами 1,2,3. В одной ячейке одна частица, в другой – две. Сколькими способами они могут быть «перетасованы»? Давайте почитаем: ((1),(2,3)); ((2),(1,3)); ((3),(2,1)) и – тремя различными способами. А если частиц четыре, и они поровну распределяться по двум ячейкам? То тут будет уже шесть вариантов (можете посчитать сами).
В реальных системах количество микросостояний может быть очень большим – частиц то много, а еще больше вариантов распределения по состояниям.
Теперь о том, что такое логарифмы. Логарифм – это степень, в которую надо возвести основание, чтобы получить заданное число. Например, логарифм от 1000 по основанию 10 равен 3, пишется это так:
По сути, это означает, что надо число десять три раза умножить на самое себя, чтобы получить тысячу.
Далее, если все равно не понятно, что такое энтропия, давайте разберёмся не с термодинамической, а с информационной энтропией. Суть одно и тоже, мера хаоса, но только в информации. И считается чуть-чуть по-другому:
Кажется, тут формула страшнее? Ничего подобного, это только на первый взгляд. Знак с острыми краями – это сумму. Буквой p – обозначена вероятность того, что система примет состояние с номером i. Знак минус перед суммой потому, что логарифм по основании два от числа меньше единицы отрицательный (а вероятность это значение от 0 до 1).
Давайте разберем несколько примеров. Пусть у нас система может принимать только одно состояние. Тогда:
Логарифм от единицы равен нулю, потому что если любое число возвести в нулевую степень, то получиться единица. В результате у нас получается, что энтропия равна нулю – система абсолютно детерминированная, никакого хаоса нет.
Другой пример. Бросание монеты. Может выпасть или «орел», или «решка». То есть, тут у нас два равновероятных состояний. Посчитаем энтропию:
Теперь допустим, что некий мошенник играет этой монетой на деньги, и немного подпилил ее в целях жульничества. Теперь вероятность выпадения «решки» 0.75, а «орла» 0.25. Посмотрим, как изменилась энтропия:
Как видим, энтропия стала меньше. Мошенник, подпилив монету, уменьшил неопределенность.
Ну, и напоследок, чтобы было более понятно. Посчитаем энтропию у игрового кубика. У него может быть шесть равновероятных состояний, по сути, тут неопределённости больше, чем в случае с монетой. Давайте проверим, так ли это:
Да, энтропия у игральной кости действительно больше
Следующий урок: Физика для чайников. Урок 16. О вечном двигателе, или законы термодинамики