Мотивировка
Знакомство с дробями начнет с наводящей задачи.
Представьте себе, что вы наемный строитель в Древнем Египте и вы входите в состав бригады из десяти человек. Вашей заработной платой за работу является ячменный хлеб. К вам и вашей бригаде приходит бригадир с корзиной хлеба. Каждому из рабочих полагается одна булка хлеба. Но бригадир сообщает, что на вашу бригаду было выдано только шесть булок хлеба, поэтому поровну не разделить хлеб на всех. И как решить раздел хлеба? Сначала поймем, что, если бы бригадир принес 10 булок хлеба, то каждому работнику досталось по одной булке, мы десять булок делим на десять человек: простая операция деления.
Операция деления
В кратце напомню суть операции делеения. Если у нас есть некотрое количество a и мы делим его на b групп (в этом и заключается наглядный смысл деления (см. рис. 1)), то полученное частное c этого деления должно быть таким, что a/b = c ⇔ a = b • c, т. е. число c является частным от деления a на b только в том случае, когда число a есть произведение b на c, т. е. деление отвечает на вопрос: сколько нужно раз сложить в нашем случае число b, чтобы получить число a. Вспомним ещё то, что произведение это сокращенная операция сложения одинаковых чисел, т. е.
а деление — это обратная операция умножению, поэтому деление можно рассматривать как сокращенное вычитание одних и тех же чисел, в нашем случае вычитание чисел b. Например дано 15 яблок и мы хотим поровну раздать их 5 друзьям. Поровну значит, что после раздачи этих яблок у каждого будет одно и то же число яблок, а у нас не останется их. Чтобы так получилось нам необходимо каждому друг дать по три яблока, т. е. последовательно вычесть по три яблока. Сделав это мы поймем, что нам надо будет произвести таких вычитаний 5 раз. Можно ещё сказать, что в числе 15 содержится пять троек. Поэтому деление можно закрепить следующим выражением:
Также замечу, что до этого и после мы используемы целые числа, т. е. a, b, c — целые числа.
Разберем за одно и то, почему на ноль делить нельзя? Для ответа на этот вопрос нужно вспомнить определение операции деления, которое давалось выше: a/b = c ⇔ a = b • c. Подставим вместо b число ноль, а число a будет отлично от нуля, и тогда из определения получим, что a/0 = c ⇔ a = 0 • c. Теперь ответим на вопрос: какое число нужно подставить в c, чтобы при умножении на нуль мы получили число a, отличное от нуля? Неизвестно, правда? Поскольку мы знаем, что домножение любого числа на число 0 всегда будет тождественно нулю: a • 0 ≡ 0 для любых a. Тогда получается бессмыслица, потому что с одно стороны истинно то, что 0 • c = 0 = a, а с другой истинно — a ≠ 0 что было оговорено ранее. Воспользуемся здесь классической формальной логикой, а именно вторым законом логики — законом непротиворечия, который гласит, что два противоположных высказывания не могут быть одновременно истинными, т. е. ложным будет хотя бы одно. Но как можно заметить именно этот закон логики и нарушают наши высказывания (истинно то, что 0 • c = 0 = a и то, что a ≠ 0), поэтому операция деления на нуль не опеределена.
Стоит рассмотреть ещё случай, когда делится нуль на нуль, самое интересное то, что это действие имеет больше смысла чем предыдущая. Почему? Распишем снова по определению нашу операцию, получим 0/0 = c ⇔ 0 = 0 • c. Можно увидеть, что это равенство верно при любых значениях переменной (аргумента) c, поскольку, как было сказано ранее, умножение любого числа на нуль тождественно нулю (a • 0 ≡ 0 для любых a). Поэтому деление нуля на нуль имеет больше смысла, чем деление отличных чисел от нуля на него же. Но значениями c, при которых будет верно это равенство (0 = 0 • c), будут являться числа из множеств: натуральных, целых, рациональных, действительных, комплексных чисел. Т. о., с точки зрения математики имеется смысл рассматривать операцию 0/0.
Вернемся в Др. Египет. Древние египтяне столкнулись с ситуацией, когда деление было уже не целочисленным, т. к. шести булок хлеба не хватит, чтобы каждому рабочему досталось по одной: четверо обязательно остануться без зарплаты. И вот до чего они додумались. Бригадир говорит, давайте разделим хлеб на равные, одинаковые части (доли) ведь не составит труда разрезать хлеб. А как можно разрезать хлеб. Делов том, что в Древнем Египте, пекли хлеб в форме круга, поэтому резать придется по диаметру. Получается, что одну булку хлеба мы разрезали на две равные части, тогда каждая из долей булки будет половинкой исходной, при этом мы произвели не целочисленное деление, т. е. в целочисленном деление мы делили множества единичных объектов, а здесь мы разделили целый объект на две его части. Эти части можно представить в виде чисел, т. е. дробей (кстати здесь уместно отметить, что изначально такие числа у египтян назывались «ломаными числами», что ярко отражает их суть), в контексте современности мы бы обозначили половинку как 1/2, где число до черты / называется числителем и говорит о том, сколько равных частей — долей — взяли при делении целого объекта пополоам, т. е. на две части, об этом и говорит число, стоящее после черты, а называется оно знаменателем.
И как же решили ту задачу египтяне? Сначала все шесть булок разделили пополам и раздали каждому рабочему по половине булки, в результате чего осталось 2 половинки (т. к. при делении пополам мы получили 12 половинок). Далее оставшиеся половинки нужно было также равно распределить между работниками. Как нужно было разделить каждую половинку, чтобы общее число получившихся частей было равно количеству рабочих? Каждую нужно было разделить на 5 долей тем самым, мы поровну разделили 6 булок хлеба между 10 строителями. При этом заметим, что 1/5 это доля от половинки, но т. к. булку составляют 2 половинки, то пятая часть от половинки для булки будет 1/10, поэтому на каждого строителя будет приходиться 1/2 + 1/10 = 6/10 булки. Этот процесс иллюстрирует рис. 2.
Эту задачу можно обобщить на произвольное количество рабочих, если у нас есть n булок и m рабочих, то нужно каждую булку разделить на количество рабочих, т. е. на m и каждому работнику дать долю 1/m. В результате после раздачи всех таких долей у каждого рабочего окажется n долей 1/m булки. Можно сказать, что основной идеей дробей является то, чтобы представить, казалось бы, единый, целый предмет в виде совокупности его равных частей, равных кусков, долей при его делении, разрезании на эти равные части.
Хочется ещё заметить, что под дробью изначально понимали именно запись 1/n, т. е. одна n-ая доля от чего-то, такие дроби сейчас называют аликвотными. Но сейчас под дробями понимают вообще любое отношение чисел n/m, где n — целые числа, а m — натуральные. Число m натурально, поскольку в знаменателе не может быть нуля, т. к. дробное представление чисел подразумевает под собой также и деление чисел n на m.
Операции с дробями
Сложение
Уже из этой мотивировки можно понять как складывать дроби. Пример, пусть нам надо сложить дробь 3/5 и 2/3. Что мы понимае под сложение дробей? Собствено то же, что и под сложение целых чисел, т. е. некоторую сумму долей, только здесь есть небольшие отличия.
Когда мы говорим о дробях, то удобно, для наглядности, работать с одним и тем же объектом, поскольку скложение 2/3 кирпича с 3/5 яблока скороносно теряет всякий смысл. Поэтому будет рассматривать доли, например, яблока. Замети, что дробь 2/3 говорит нам о том, что мы от яблока берем две его доли, при делении его на три доли. А 3/5 говорит то, что мы от яблока берем три его доли, при делении его на пять долей. Провреив такое деление яблока можно понять, что это разные дроби, они говорят о разных частях яблока. Как же быть? Начнем с того, что мы имеем ввиду, когда складываем обычные натуральные числа, например, 2 + 5. Мы берем и просто считаем количества тех единиц, из которых состоит двойка и пятерка так, как если бы мы рассматривали сумму как единую кучку единиц, т. е. первая кучка: первая единица, вторая единица. Вторая кучка: третья единица, четвертая единица, пятая, шестая, седьмая. Всего получили семь единиц, поэтому 2 + 5 = 7. Давайте также поступим и с дробями, т. е. каждую из дробей приведем к такому виду, чтобы можно было просто посчитать их количества долей, т. е. числители этих дробей. Для этого нам надо научиться над дробями выполнять важное действие, возможно вы уже сним знакомы, — сокращение и домножение числителя и знаменателя дроби на одно и то же число. Что это такое?
Возьмем к примеру дробь 1/3 (рис. 3), давайте попытаемся представить эту же долю через другую дробь. Для этого разделим долю 1/3, например, на 4 равные части, получится то, что доля 1/3 состоит из четырех равных частей, т. е. 1/4 (четверть) от 1/3 (трети). Тогда весь объект, поделенный на три части будет состоять из 12 четвертинок 1/3, т. к. каждая треть состоит из четырех четвертинок, то все три трети, т. е. весь объект, будут состоять из 3 • 4 = 12 четвертинок. Но тогда получается, что ту же треть можно выразить через её доли относительно всего объекта, т. е. её четвертей. Поскольку весь объект, как мы уже выясили, состоит из 12 четвертей 1/3, то она (доля 1/3) будет равна трети всех 12 четвертинок, т. е. 4/12 = 1/3. Из этого сразу видно, что из 1/3 можно получить 4/12 просто домножив числитель и знаменатель дроби 1/3 на 4, а из полученной дроби 4/12 можно получить обратно 1/3 просто разделив, опять же, числитель и знаменатель на 4. Из выше приведенных соображений и получается это замечательное свойство дробей их равенство при домножении или разделении числителя и знаменателя на одно и то же число. А возникло оно из того, что идею дроби мы применили к доли этой дроби, т. е. попытались выразить долю чего-либо через её доли также разделив её на необходмое количество равных частей.
Теперь сложение дробей. Чтобы дроби привести к такому виду, чтобы их можно было просто посчитать, необходимо сделать эти дроби равных знаменателей, поскольку мы договорились складывать дроби так, как мы складываем натуральные числа. А это можно сделать когда у тебя все складываемы дроби являются некоторым количеством долей тела, поделенного на одно число равных частей. Иными словами будем складывать только такие дроби, у которых знаменатели равны, потому что они выражают части объекта относительно данного количества долей объекта, на которые он был разделен. (Под долей мы понимае аликвотную дробь, т. е. дробь вида 1/n.) В таком случае возращаясь к нашему примеру: складываем 2/3 и 3/5. Первое что мы делаем так это уравниваем знаменатили. Для этого нужно задаться вопросом: на сколько нужно домножить дробь 2/3 и на сколько — 3/5, чтобы их знаменатели стали равными. Можно заметить, что домножив 2/3 на знаменатель дроби 3/5, а 3/5 домножив на знаменатель 2/3 мы получим дроби с равными знаменателями, т. е. 2/3 = 10/15, 3/5 = 9/15. Тогда их сумма равна 10/15 + 9/15 = 19/15. В чём суть? Если мы хотим быстро привести дроби к одному знаменателю, нам надо долю первой дроби, в нашем случае это 1/3, сравнять со второй долей дроби, т. е. 1/5, т. е. нужно найти такие a и b, что 1/(a • 3) = 1/(b • 5). Не трудно понять, что числа a и b должны быть кратны 5 и 3 соответственно, а вобщем случае говрят, что нужно найти НОК чисел 3 и 5, т. е. наименьшее общее кратное чисел 3 и 5 или НОК знаменателей дробии вообще соответственно. Найденные числа a и b домнажают на соответсвующие дроби к их числителю и знаменателю. Т. о. мы узнали как складывать дроби. И да, если больше двух дробей, то здесь сложение можно вести также как и при сложении целых чисел: сначала находим сумму первых двух чисел, потом сумму полученной суммы и следующего числа и т. д. Или можно сразу привести все дроби к одному знаменателю. Вычитание дробей проводится аналогично обычному вычитанию чисел.
Умножение
Теперь поговорим об умножении дробей. Начнём с наводящих примеров.
Пусть дано следующее произведение: 1/2 • 3. О чём эта запись говорит? Мы просто говорим, что хотим найти сумму трёх половинок и понятно, что это будет равно 1/2 • 3 = 1/2 + 1/2 + 1/2 = 3/2. Понятно, да? Иными словами в произведении такого рода, когда произведение целого числа на дробное, мы рассуждаем также, как если бы рассматревали произведение целых чисел. Вот такой пример: 2/5 • 8. Опять же, та же логика. Мы говорим, что хотим найти сумму восьми дробей 2/5, поэтому 2/5 • 8 = 2/5 + 2/5 + 2/5 + 2/5 + 2/5 + 2/5 + 2/5 + 2/5 = 16/5. Можно сделать такой итог в виде формулы: n/m • a = (a • n)/m.
Другая ситуация: 1/3 • 5/7, здесь уже произведение дробей. Здесь будем рассуждать с той точки зрения, когда дробь рассматривается как деление. Что такое 5/7, это мы взяли пять, например, яблок и раздали их семерым друзьям, понятно, что двоим не достанутся яблоки. (Можно было рассуждать и с дробной точки зрения. Пусть мы разрезали яблоко на семь долей и каждому из пяти друзей дали по дольке, поэтому две доли остались.) Теперь давайте считать, что дробь 5/7 она как число a из формулы n/m • a = (a • n)/m. Тогда произведение 1/3 • 5/7 имеет смысл того, что мы уменьшили 5/7 в три раза, т. е. раздали 5 яблок не 7 ребятам, а в три раза большему количеству, т. е. 21, поэтому произведение 1/3 • 5/7 это то же самое, что и 5/21, т. е. 1/3 • 5/7 = 5/21. Теперь такой случай, далеко не будем уходить: 2/3 • 5/7. Здесь всё то же самое только здесь мы увеличили количество ребят, но и количество раздаваемых яблок, потому что 2/3 = 2 • 1/3 и 2/3 • 5/7 = 1/3 • 2 • 5/7 =1/3 • (2 • 5)/7 = 1/3 • 10/7 = 10/21. Вот что получается. Здесь тоже можно формально зафиксировать наш результат: a/b • n/m = (a • n)/(b • m).
Деление
Поговорим теперь про совсем не понятный факт для тех кто изучает дроби в школе: почему при делении дробей нужно вторую дробь перевернуть и найти произведение первой дроби и второй перевнутой, т. е. поучему (a/b)/(n/m) = a/b • m/n? Давайте также подойдем к этому с наводящих примеров. Рассмотрим умножение 1/3 • 2 = 2/3. Мы хотим, чтобы рациональным числам были присущи те же свойства, что и целым, т. е. мы хотим, чтобы было верно, что 2 = (2/3)/(1/3), т. е. мы понимае, что если мы разделим 2/3 на 1/3, то мы получим 2. А как из дроби 2/3 можно получить два? Прямо и непосредственно вот так: 2/3 • 3 = 6/3 поделив числитель и знаменатель на 3, а это мы умеем, получим: 2/3 • 3 = 6/3 = 2. Получается, что если мы хотим, чтобы для дробей всё было также как и для целых чисел мы должны принять тот факт, что 2 = (2/3)/(1/3) = 2/3 • 3 = 6/3 = 2. А эта тройка в произведении 2/3 • 3 и есть перевернутая дробь 1/3, т. е. дробь 3/1 = 3.
Другой пример: (3/4)/(5/7). Давайте также рассуждать. Имеем: (3/4)/(5/7), пусть a = 3/4, а b = 5/7 и их частное равно c, тогда a/b = c; a = cb = c • 5/7. Получается, что c должно быть таким, что при умножении на 5 и сокращении на 7 мы получим 3/4. Преположим, что c представимо как c = h/k, т. е. является дробью, тогда имеем 3/4 = h/k • 5/7, подобрав соответсвующие h и k прийдем к выводу, что h = 21, а k = 20, т. к. (21 • 5)/(20 • 7) сократив числитель и знаменатель на 5, а потом на 7 получим, что (21 • 5)/(20 • 7) = 3/4. Из этого мы понимае, что h/k = (3 • 7)/(4 • 5), а это и есть произведение первой дроби на перевернутую вторую. Вот почему существует такое правило деления дробей, это просто стремление сохранить свойства, которыми обладают целые числа, для всех остальных чисел.
Рубрикатор (путеводитель по) канала(-у).
Оцените эту статью 👍, если вам понравилось, или 👎, если вам не понравилось. Поделитесь ею с друзьями! И как всегда — будьте в курсе точных наук!