В математике порой (и за это мы ее любим) одни и те же инструменты работают в совершенно неожиданных областях. Вот казалось бы: дивергенция, характеристика векторных полей... при чем здесь площадь эллипса?
Оглавление рубрики "Мой учебник"
Что такое дивергенция? Рассмотрим двумерное векторное поле (вектор в каждой точке плоскости) и будем понимать его как скорость некоторой несжимаемой жидкости: в каждой точке она своя, и по величине, и по направлению. Можно считать, что течение по глубине однородное, а глубина слоя постоянная: вот и получится двумерная задача.
Выделим область, пусть квадратную, и посчитаем поток жидкости. Надо умножить скорость (м/с) через кусок границы на длину куска (м) и на глубину (м), то есть на площадь сечения (кв.м), получив объем в секунду (куб.м/с). При этом считаем вытекающий объем положительным, а втекающий — отрицательным. Просуммируем по всем кускам, и получим мгновенный вытекающий из области поток. Поделим его на объем (на площадь и сократим глубину) области.
Теперь будем уменьшать область, стягивая ее к точке. В пределе получим некоторую величину, которая и называется дивергенцией.
Поскольку жидкость несжимаемая, то вытекающая жидкость должна откуда-то браться, то есть в точке есть источник. Это может быть именно источник, например, родник на дне озера; может быть уход жидкости в глубину, и тогда получается дивергентное течение на поверхности; может быть жидкость сжимаема, и тогда источником служит снижение плотности: так выводится уравнение неразрывности: производная плотности выражается через дивергенцию скорости (и плотность).
В декартовых координатах для дивергенции есть простая формула. Если векторное поле u записано как (u(x,y), v(x,y)), то
Она легко получается из рисунка: справа скорость u>0, вытекает, а слева u>0 — втекает. Взяв разность, получим втекание в направлении оси x. Разность выражается через производную по этой переменной. Аналогично со второй переменной (v в направлении y).
Формулы Грина. Теперь возьмем большую область, разобьем ее на маленькие и заметим, что для соседних областей вытекание через стенку для одной равно втеканию для другой. Поэтому поток через границу большой области равен сумме потоков, а в пределе получается интеграл от дивергенции.
Поток через границу можно записать так: надо взять ту часть скорости, которая поперек кусочка границы, и все сложить. Кусочек границы — это (dx,dy). Перпендикулярный к нему — (dy,-dx). Умножим вектор скорости u=(u,v) скалярно на него: получим проекцию скорости. В итоге имеем формулу Грина:
Ее можно переписать, формально поменяв обозначения:
В первой форме она является двумерным аналогом формулы Ньютона-Лейбница: интеграл от производной сводится к самой функции на границах отрезка; а здесь интеграл от дифференциальной величины — дивергенции — сводится к интегралу по границе от самой функции.
Во второй форме она выражает циркуляцию (справа), то есть, работу по переносу вдоль течения, и ротор поля (под интегралом слева), связывая завихренность в точке с движением по кругу.
А теперь внезапно применим эту формулу к далекой от векторных полей и механики сплошных сред задачке: посчитать площадь эллипса.
Возьмем эллипс с уравнением
Его площадь — это двойной интеграл по нему от единицы: разобъем на части, и сумма всей фигуры есть сумма частей, очевидно:
Введем поле u=(0.5x, 0.5y) и подставим его в левую часть первой формулы Грина:
Слева стоит площадь фигуры, в нашем случае — эллипса. Справа интеграл по эллипсу, который легко считается, если эллипс записать параметрически:
В итоге площадь эллипса равна πab.
Видите, как просто? Поверьте, что "в лоб" эту площадь посчитать намного труднее. Вот так инструмент совершенно из другой области может быть изящно и эффективно применен.
Заметили, что мы применили инвариантность? Эллипсов разных пруд пруди, но мы они делятся на равные: с одинаковыми парами полуосей. Мы сделали расчет в подходящих координатах, и он получился общим: справедливым в любых координатах! Правда, не во всех очевидны значения полуосей...