Совсем недавно западные страны праздновали Рождество. В честь этого события мы и обсудим теорему, носящую название Рождественская теорема Ферма (или теорема Ферма - Эйлера). Вы спросите, почему такое название. Всё просто - письмо, написанное Пьером де Ферма с формулировкой этой теоремы было отправлено математику Мерсенну в Рождество 1640 года.
Формулировка
Для того, чтобы целое положительное число n можно было представить в виде суммы квадратов двух целых чисел, необходимо и достаточно, чтобы любой простой делитель числа n, дающий остаток 3 при делении на 4, входил в разложение n на простые множители в четной степени.
Доказательство этой теоремы сложное и будет понятно далеко не всем. Однако, Вы сможете с ним ознакомиться в книге автора В. Доценко "Арифметика квадратичных форм".
Следствие
Используя простое тождество (a^2+b^2)(c^2+d^2) = (ac-bd)^2 + (ad+bc)^2 (это тождество также называют тождеством Брахмагупты, или тождеством Брахмагупты-Фибоначчи), можно доказать, что всякое просто число вида 4k+1 представимо в виде суммы двух квадратов (причём единственным образом).
Похожие теоремы
- Целое положительное число представимо в виде суммы трех квадратов, если и только если оно не имеет вид 4^a(8b+7).
- Любое целое число представимо в виде суммы четырех квадратов.
- Для любого простого числа p найдется сумма четырех квадратов (не все из которых делятся на p), которая делится на p.
Не забывайте подписываться на канал, ставить лайк, и писать в комментарии идеи для статей!