Многие, если не все, знают прием умножения однозначного числа на 9 (про двузначные поговорим потом). Если кто-то не знает, вот он.
Раскрываем перед собой обе ладони с десятью пальцами. Начинаем считать слева направо. Например, нам надо умножить на 3. Загибаем третий палец. То, сколько пальцев перед загнутым - будут десятки нашего результата. А то, сколько пальцев после загнутого - наши единицы.
Давайте математически обоснуем правильность этого метода. Можно, конечно, просто перебором проверить. Но это неинтересно.
Итак, предположим, что нам надо однозначное число a умножить на 9. В результате мы получим двузначное число (кроме случая умножения на 1, но и в этом случае можно представить его как двузначное с количеством дестятков равным нулю).
Итак a*9 = 10a-a.
Что такое 10a? Это двузначное число с числом десятков равным нашему числу, а единиц в нем 0. Если от такого числа отнять однозначное число, то число десятков в нем будет на единицу меньше (эту единицу мы займем в меньший разряд, чтобы вычесть число). Важно, что мы вычитаем однозначное число и, следовательно, занимать нам нужно только один десяток.
Вспомним, как в принципе можно записать двузначное число? Его можно записать как 10x+y, где x - число десятков, а y - число единиц. Мы уже выяснили, что десятков в нашем произведении будет на 1 меньше, чем число a. Тогда x = a-1 Тогда произведение равно 10*(a-1)+y=10a-10+y
Но в то же время мы помним, что произведение это 10a-a. Приравняем эти два выражения
10a-a=10a-10+y => y=10-a
Итого, в произведении число десятков равно a-1, а число единиц равно 10-a.
Таким образом, так как пальцев у нас 10, то если из десяти пальцев мы загнем палец под номером a, то слева от него останется именно a-1 пальцев и это будут десятки нашего произведения, а справа от него будет 10-a пальцев - именно столько, сколько и получилось при математическом вычислении.
А еще можно обратить внимание, что сумма a-1 и 10-a равна 9. То есть при умножении однозначного числа на 9 мы получаем двузначное, сумма цифр которого всегда равна 9. Красота!
Если вы хотите увидеть разбор каких-то других приемов быстрого вычисления, пишите в комментариях.