Не только приведенное квадратное уравнение решается подбором.
Теорема Виета для квадратного уравнения
Если x1 и x2 – корни квадратного уравнения a·x2+b·x+c=0, то x1+x2=−b/a и x1·x2=c/a.Если у теоремы поменять условие и заключение, то получим теорему, обратную.
Теорема, обратная теореме Виета для квадратного уравнения
Если числа x1 и x2 таковы, что x1+x2=−b/a и x1·x2=c/a, то x1 и x2 являются корнями квадратного уравнения a·x2+b·x+c=0.
При решении приведенных квадратных уравнений x2+p·x+q=0, в том случае, когда уравнение имеет корнями целые числа, обычно находят подбором числа, удовлетворяющие условиям x1+x2=−p и x1·x2= q и утверждая, эти числа корни уравнения, используют при этом обратную для теоремы Виета.
Приведем элементарный пример: найти корни уравнения x2- 5·x+6=0 x1+x2= 5 и x1·x2= 6. Ответ: x1= 2, x2 = 3. 2+3 = 5 = -(-5); 2·3 = 6.
Похожим образом можно находить, если корни дробные.
Приведем пример: 15x2- 8x + 1 =0. Уравнение не приведенное, но, если сделать замену y = 1/x, получится приведенное y2 – 8y + 15 = 0, а для него 3 + 5 = 8, 3·5 = 15, а учитывая замену, корнями исходного будут значения x1 = 1/3, x2 = 1/5. Так легко преобразуются уравнения, у которых свободный член равен 1. У некоторых людей есть способность подбирать дробные корни для уравнений даже такого вида: 6x2- 17x + 12 =0; Здесь корни 3/2 и 4/3, но увидеть это труднее. 3/2 + 4/3 = 17/6, 3/2·4/3 = 12/6 =2.
Потренируйте свой мозг, возможно получится находить быстро корни.
Решить уравнения с помощью теоремы, обратной теореме Виета: 24x2- 11x + 1 =0; y2 – y - 6 = 0; 6x2- 7x + 2 =0;