Сферический треугольник — геометрическая фигура на поверхности сферы, состоящая из трёх точек и трёх дуг больших кругов, соединяющих попарно эти точки.
Сначала разберемся с тем что такое большие круги. Большой круг - круг, который делит сферу или шар на две равные половины.
На поверхности сферы большой круг служит аналогом прямой на плоскости, так как кратчайший путь между любыми двумя точками на поверхности сферы пройдёт по дуге большого круга.
Именно поэтому самолеты летают по дуге большего круга нашей планеты, так как в таком случае расстояние будет минимальным. Обычная плоская карта искажает реальные размеры из-за неправильного отображения сферы на плоскость. Так же это может послужить для плоскоземельцев очередным доказательством их не правоты.
То есть сферический треугольник представляет собой три точки на поверхности сферы, соединенные дугами кратчайшего расстояния, которые и есть дуги больших кругов.
Перед тем как считать площадь треугольника нужно ознакомиться с еще одним понятием.
Сферический двуугольник - многоугольник с двумя сторонами и двумя углами. В сферической геометрии четыре двуугольника образуются при пересечении двух больших окружностей.
Из формулы площади сферы легко получить площадь двуугольника. Формула получается таким же способом, как и площадь сектора круга. Площадь делится на максимальный угол двуугольника 2pi, и умножается на угол двуугольника площадь которого мы ищем.
По сути сферический треугольник представляет собой пересечение трех сферических двуугольников с перекрытиями.
При внимательном рассмотрении рисунка, видно что поверхность сферы покрывается шестью двуугольниками, но так как они наслаиваются друг на друга в месте образования треугольника, необходимо вычесть площади четырех треугольников.
Из выведенной формулы следует, сумма углов сферического треугольника больше 180 градусов.