Математика онлайн. Доступно о сложном
Здравствуйте, уважаемые любители математики!
Разделим решение задачи на два этапа. Сначала решим показательное уравнение, а затем оценим получившийся корень (корни).
Решение уравнения
Поскольку уравнение является однородным, то решение начинаем, например, с деления на 4 в степени x.
Сокращаем получившиеся дроби, вводим новую переменную и получаем квадратное уравнение.
Решаем его. Второй корень - отрицательный, поэтому его отбрасываем.
Возвращаемся к первоначальной переменной и получаем корень заданного показательного уравнения.
Уравнение также можно решить, разделив правую и левую части на 25 в степени x.
В данном случае не совсем очевидно, что получился один и тот же корень.
Убедимся в этом. Сначала перейдем к новому основанию. Затем, используя одно из свойств логарифма, -1 перенесем в степень аргумента.
Далее избавимся от корня в знаменателе. Для этого и числить, и знаменатель умножим на число, сопряженное к знаменателю.
Видим, что получилось то значение, которое было при решении уравнения первым способом.
Оценка корня
Осталось сравнить полученный корень с нулем и единицей.
В данном случае прикинуть значение подлогарифмического выражения легко даже без калькулятора (квадратный корень из 5 примерно равен 2,2).
Так как и число, стоящее под знаком логарифма, и основание логарифма больше 1, то логарифм больше нуля.
Для сравнения корня с единицей составим и преобразуем их разность.
Число, стоящее под знаком логарифма меньше 1, следовательно, логарифм меньше нуля (здесь также учли, что основание больше единицы).
Получили, что разность корня уравнения и числа 1 отрицательна. Таким образом, корень меньше единицы.
Задание – из сборника конкурсных задач под ред. Сканави М.И.
Не забудьте подписаться на канал, если
- Вам интересны вопросы, которые здесь разбираются;
- Вам могут потребоваться консультации по математике (подробнее здесь).
Все статьи серии "Задачи вступительных экзаменов 20-го века"
О канале