Когда в школе вы впервые затронули тему отрицательных чисел, то вам наверняка обозначили некоторые правила, для правильного оперирования с отрицательными числами. Одним из таких правил было следующее утверждение: «При умножение отрицательного числа на отрицательное результатом умножения будет положительное число». Объяснением этого факта, скорее всего, вас не наделили. Сейчас хотелось бы исправить это.
Начнём с того, что вообще означает отрицательное число? Если глубоко не погружаться в историю, то объяснить это можно тем, что с появлением товарных и денежных отношений начали появляться люди-должники, то есть они должны были отдать то, что занимали у своего друга, к примеру. Задолженность могла проявляться в виде денег, предметов, пищи и так далее. Тогда людям пришлось расширить их мир чисел, добавив к ним ещё отрицательные числа (при этом до отрицательных были просто натуральные числа).
Но не понятно, повлияло ли добавление новых чисел на арифметические операции, которые можно над ними проводить. Ответ нет, действия (т. е. арифметические операции) над отрицательным числами не чуть не изменились, т. е. сложение осталось прежними (–3 + (–4) = –7; –2 + 3 = 1). Но тут возникаем проблема: «Как поступать с отрицательным числами, когда мы их умножаем?» Перед тем как начать разбирать этот вопрос рассмотрим случай умножения отрицательного числа и положительного, например — –4 • 3. Первое число — это множимое, т. е. число, которое умножают или многократно складывают. В данном случае умножают –4. Второе число — множитель, т. е. это такое число, которое показывает сколько раз надо взять множимое число –4, в данном случае это 3. Вообще мы знаем, что умножение это сокращённая операция сложения, просто если складывать приходиться много чисел, то тогда мы заменяем её на более короткую запись, в качестве которой выступает операция умножения, это нужно для экономии места и сил. Тогда наше выражение можно записать так — –4 + (–4) + (–4) = –12. Здесь думаю всё понятно, но теперь посмотри на такой пример — 4 • (–3). Здесь в качестве множителя выступило отрицательное число, что нам делать в этом случае. Эта запись нам говорит: «Что четверку нужно взять минус три раза». Немного трудно понять о чём идёт речь. Как это — взять 4 минус 3 раза. Чтоб выйти из этой ситуации просто надо воспользоваться коммутативным законом (это когда a • b = b • a). Тогда у нас получится –3 • 4 = 12, теперь всё снова работает как надо. Ну теперь переходим к самому интересному: –4 • (–3). Здесь мы хотим, чтобы все правила и законы работали как надо. Чтобы это сделать не будем пока трогать минус 3, а рассмотрим такое варажение — 4 + (–4). Понятно, что оно равно нулю, т. е. 4 + (–4) = 0. Далеем, домножим обе части уравнения на –3, получим: –3 • 4 + (–3) • (–4) = –3 • 0. Теперь посчтиаем всё то, что мы понимаем и уже умее с этим работать, тогда получим: –3 • 4 = –12; –3 • 0 = 0, т. е. (–12) + (–3) • (–4) = 0. Выразим теперь произведение (–3) • (–4) таким образом: прибавим к обеим частям уравнения по 12, получим: (–12) + 12 + (–3) • (–4) = 12, но (–12) + 12 = 0, поэтому (–3) • (–4) = 12! Вот так и получается то, что если мы хотим, чтобы всё работало так, как и для положительных чисел, то нам приходится принять тот факт, что "отрицательное на отрицательное получим положительное". Такова математическая реальность.
Правда есть ещё способ понять этот факт. Он интерпретирует его из математического мира в наш реальный. Ниже представлена таблица где перемножается 3, 4, –3, –4. Первое число вторая колонка (считая слева), в ней находится число, говорящее о нашем доходе или долге. В 4 колонке (считая слева) находится число говорящее о том во сколько раз наш долг/доход увеличился/уменьшился.
В таблице представлены все возможные комбинации.
Первая строка: в ней мы имеем доход 3 который увеличился в 4 раза;
Вторая строка: в ней мы имеем доход 3, который теряем 4 (об этом говорит число –4) раза, т. е. убыток –12;
Третья строка: она аналогична второй только здесь у нас убыток (долг) 3, а увеличиваем (получаем) его (в) 4 раза;
Четвертая строка: здесь мы имеем долг 3, который мы теряем (избавляемся) (от него) 4 раза, т. е. это операция обратная росту долга, когда мы теряем то, чего у нас в недостатке ( а в недостатке у нас доход), получается, увеличиваем свой доход и это в итоге даёт 12.
Всё разумно, не так ли?
Ещё на данную тему в конце статьи будут ссылки на англоязычное видео (хостинг YouTube), где также доходчиво объясняется эта тема (есть хорошие русифицированные субтитры).
Оцените эту статью 👍, если вам понравилось, или 👎, если вам не понравилось. Поделитесь ею с друзьями! И как всегда — будьте в курсе точных наук!
Ссылки: