"Ух ты, физика! Часть 21"
В курсе школьной элементарной физики ученики изучают очень мало по настоящему фундаментальных закономерностей, которые описывали бы широкий круг физических явлений.
В этом смысле, я думаю, самый важный и интересный раздел физики - уравнения Максвелла.
Четыре коротких и простых уравнения описывают все электромагнитные явления! Абсолютно все.
Будь моя воля, я бы начинал изучение физики в школе с уравнений Максвелла.
Я бы написал на доске уравнения и сказал примерно следующее:
"Ребята! Система из вот этих четырех коротких уравнений описывает абсолютно все электромагнитные явления в нашем с вами физическом мире. Абсолютно все! Телевидение, сотовую связь, освещение, современную медицину, и даже то, как мы с вами видим друг друга, все это описывается с помощью этих уравнений. Разве это не здорово? И еще они очень простые. После того, как вы поймете их суть, суть вот этих вот значков на доске, вы сможете просто "в уме" решить большую половину всех экзаменационных задач на электричество и магнетизм. Возможно только поэтому стоит уже потратить несколько часов, чтобы познакомиться с ними поближе."
И дальше в этом же духе...
А поскольку наш курс рассчитан на опытных школьников, которые уже готовятся к финальным экзаменам, то мы можем себе позволить начать изучение основной теоретической части с разбора уравнений Максвелла.
Как показывает наша практика, такой подход оправдан. После разбора уравнений Максвелла детям гораздо проще понимать все остальные темы школьной физики, включая такие, как элементы теории относительности Эйнштейна и основы квантовой механики.
Почему же школьная физика не начинается с уравнений Максвелла?
К сожалению, в школьном курсе физики безраздельно царствуют механистическое упрощенчество физических законов и физических явлений.
Это, с одной стороны, действительно упрощает начальное знакомство с отдельными темами. И ускоряет приобретение навыков решения простых задач с помощью простых сокращенных формул.
С другой стороны, это закрывает дорогу к пониманию общих связей между явлениями и сводит всю школьную физику к набору мало связанных между собой простых частных случаев и мнемонических правил.
Особенно это становится заметно при изучении такой темы, как электромагнитные волны.
Электростатика отдельно - вполне себе простая и понятная тема. Магнитостатика отдельно - тоже ничего сложного.
Но как только мы переходим к изучению электромагнитных волн, объяснения, приводимые в школьных учебниках становятся не просто очень далекими от действительности. Они напрочь запутывают учеников, не позволяя им прийти к качественному пониманию предмета.
Сам по себе рисунок того, как электромагнитные волны расширяются в виде сцепленных в перпендикулярных плоскостях колец, не просто странный. Он абсолютно не вносит никакой ясности в описанное явление. От него нет никакой практической пользы. Увы.
В итоге получается, что выдрессировать зубрежку определений и формул можно, но нельзя добиться понимания взаимосвязей между различными реальными физическими явлениями. И даже простых логических цепочек "что из чего следует" у школьников не будет при таком подходе.
Во всяком случае я точно помню, что в средней школе так и не смог понять в физике только одну вещь - как распространяются электромагнитные волны.
Это оставалось для меня тайной вплоть до знакомства с соответствующим разделом в курсе "Фейнмановских лекций по физике".
Все стало просто и понятно, когда я узнал, что нет никаких перпендикулярных расширяющихся колец!
А есть лишь набор явлений, которые с достаточной точностью описываются уравнениями Максвелла.
Так что же такое уравнения Максвелла?
Вот они:
Ну правда же, они красивы? Элегантны и просты!
И они описывают все электромагнитные явления в нашем с вами физическом мире. Абсолютно все!
Но самое замечательное, что с момента их написания 150 лет назад в них не пришлось вносить никаких изменений. Ньютоновская механика "пала" под натиском теории относительности. Многие другие теории подверглись уточнениям и доработкам. А уравнения Максвелла работают в своем первозданном виде везде, по крайней мере до расстояний десять в минус шестнадцатой степени метра!
Справедливости ради нужно отметить, что Максвелл написал несколько больше уравнений. Целых двадцать штук. (Кстати вопрос: почему двадцать?)
Он расписывал свои законы электромагнетизма покомпонентно. Это выглядело несколько громоздко и не столь элегантно.
В дифференциальной векторной записи они действительно симметричны и красивы!
Быть может, они не совсем понятны школьникам?
Исправим это. Запишем уравнения "человеческим" языком.
Первое уравнение Максвелла
Формулировка:
Поток напряженности электрического поля Е сквозь любую замкнутую поверхность = Заряд внутри этой поверхности / (Эпсилон-ноль)
Смысл:
"Источником электрического поля является заряд"
Второе уравнение Максвелла
Формулировка:
Циркуляция вектора напряженности Е по замкнутому контуру = Производной по времени от потока вектора магнитного поля В сквозь замкнутую поверхность, ограниченную этим контуром
Смысл:
"Всякое изменение магнитного поля во времени вызывает появление вихревого электрического поля"
Третье уравнение Максвелла
Формулировка:
Поток вектора магнитного поля В сквозь любую замкнутую поверхность = 0
Смысл:
"Источники магнитного поля в виде магнитных зарядов не существуют в природе"
Четвертое уравнение Максвелла
Формулировка:
Циркуляция вектора В по замкнутому контуру = Электрический ток сквозь поверхность, ограниченную этим контуром/ (квадрат скорости света * Эпсилон-ноль) + Производная по времени от потока вектора Е сквозь поверхность, ограниченную этим контуром/ (квадрат скорости света)
Смысл:
"Протекание тока по проводникам и изменения электрического поля во времени приводят к появлению вихревого магнитного поля."
Так, пожалуй, будет более понятно?
А теперь мы с вами разберемся с уравнениями Максвелла с точки зрения понимания физики и приложения этого понимания к решению физических задач.
Как проще и полезнее представить себе электрические и магнитные поля?
Через поле скоростей!
Представим себе, что у нас с вами есть некоторое пространство (например наша Вселенная), и в каждой точке этого пространства находится некая частица, которая имеет, в свою очередь, определенную характеристику - скорость. И еще у нашего пространства частиц есть такая характеристика, как плотность частиц в единице объема и она постоянна.
И, да! Еще наши частицы двигаются в пространстве каждая со своей скоростью. Это напоминает движение воды в сосуде, например, в океане.
И еще у нас есть "источники" частиц - такие области, в которых частицы появляются. И есть "приемники" частиц - такие области, в которых наши частицы исчезают.
Напоминает умывальник, правда? Кран - источник, раковина - пространство, сливное отверстие - приемник.
Так вот! В результате нашего мысленного построения каждой точке нашего пространства сопоставлен вектор скорости частицы, которая находится в этой точке пространства. Таким образом мы можем сказать, что у нас есть векторное поле скоростей. Векторное поле, прямо по-определению, это некоторая область, каждой точке которой сопоставлен некоторый вектор.
Если эти вектора, которые сопоставлены каждой точке, находятся в абсолютном беспорядке, то про них и сказать то нечего. Такое поле совершенно бесполезно.
Но на наши вектора мы наложили некоторые ограничения. Мы сказали, что их плотность всегда постоянна. Тогда движение частиц в нашем пространстве аналогично движению частиц идеальной несжимаемой жидкости. А уж как жидкость может двигаться в нашем пространстве, это мы себе прекрасно представляем.
И нам всего лишь останется понять, чем поведение электрических и магнитных полей (областей пространства каждой точке которых сопоставлены вектора Е и В ) отличается от поведения поля скоростей движущейся жидкости.
Итак, пусть у нас есть поле вектора А. Это поле скоростей наших частиц.
Тогда, дивергенция векторного поля в любой точке
это есть сумма частных производных вектора А в этой точке по координатам.
Это скалярная величина. Она показывает, как много наших частиц появляется или исчезает в данной точке пространства. Дивергенцию можно еще назвать "истечение". Если она положительна, то частицы "появляются". И чем больше их появляется, тем выше их скорость, и тем, соответственно, длиннее вектора скорости. Плотность у нас постоянна, частицам нужно куда то деваться и они должны тем быстрее "убегать" от этой точки, чем больше их образуется в единицу времени.
Понятно, в чем смысл дивергенции векторного поля?
Из объема вокруг точки появления частиц они больше "истекают", чем "втекают".
Там где источника нет, "истечение" и "втечение" в сумме одинаково. Это, надеюсь, понятно.
Дифференциальная форма означает, что мы рассматриваем бесконечно малый объем вокруг некой точки. И смотрим на поведение нашего поля в этом бесконечно малом объеме. (За подробностями в наш учебник!)
Переходя к первому и третьему уравнению Максвелла, теперь можно применить наши знания о дивергенции к векторным полям Е и В.
Первое уравнение Максвелла говорит нам о том, что существуют такие точки в нашем с вами физическом пространстве, в которых ненулевая характеристика, называемая "электрический заряд" порождает "истечение" векторного поля Е из этой точки.
Мы с вами знаем, что заряд может быть положительный или отрицательный, тогда и "истечение" может быть положительным (из нашей точки наружу - оно же "истечение", а не "втечение") или отрицательным (это уже внутрь - типа "втечение").
Действительно, линии векторного поля Е вытекают из "+" и втекает в "-". Это можно посмотреть на картинках во всех учебниках.
Но только с помощью картинок линиями невозможно решать физические задачи, а вот с помощью уравнения Максвелла очень даже можно. И мы с вами с легкостью это проделаем в следующих параграфах.
Третье уравнение Максвелла говорит нам о том, что линии магнитного поля всегда замкнуты. Догадайтесь сами, почему при нулевой дивергенции поля В его линии обязаны быть всегда замкнутыми? (Первый, кто ответит на этот вопрос аргументированно, со ссылкой на уравнение Максвелла, получит в качестве приза цифровую ручку от нашего генерального спонсора)
Кстати, постоянная "эпсилон-ноль" в уравнениях Максвелла, вводится только по причине выбранной нами системы СИ (чтобы возникли привычные единицы силы электрического тока). Теоретически, мы можем так выбрать размерности величин, что коэффициенты превратятся в единицу. Тогда симметрия уравнений будет еще нагляднее.
Теперь разберемся со вторым и четвертым уравнениями.
С понятием ротора проще всего разобраться, рассматривая непосредственно электрическое поле Е.
Вспомним откуда вообще взялось понятие электрического поля. И что значит вектор Е в какой-то точке.
Если мы из правой части закона Кулона (все помнят, я надеюсь, закон "тяготения для заряженных частиц")
уберем один из зарядов, то все, оставшееся в правой части после выноса второго заряда, есть вектор электрического поля Е оставшегося заряда
То есть вектор Е, по-простому говоря, вызывает ускорение заряженных частиц, соответственно, и движение таких частиц.
Если в электрическое поле поместить проводник, то по нему пойдет ток, который и есть упорядоченное движение заряженных частиц. О"кей!
Тогда проделаем такой мысленный эксперимент. Поместим в наше электрическое поле Е маленькую рамку из проводящего материала, например, из медной проволоки. Рамка очень-очень маленькая (бесконечно малая), круглая, и центр этого круга находится в рассматриваемой нами точке пространства. Тогда возможно два случая, как бы мы не располагали нашу рамку, ток в ней не возникнет. Или второй случай, ток есть. Мы можем найти такое положение рамки, в котором по ней течет максимальный ток. Максимальный по отношению ко всем другим положениям рамки с центром в нашей точке.
Про первый случай можно сказать, что "ротор векторного поля" Е в нашей точке равен нулю. А если ток есть, то "ротор векторного поля" Е в нашей точке ненулевой.
Причем "ротор" - это вектор! Направлен он перпендикулярно плоскости нашей рамки с током в направлении "правого винта". Что это такое, мы разберем после, или посмотрите в учебнике. А лучше не смотрите!
Потому, что этот "винт" - он как раз и вытекает из уравнений Максвелла. А направление вектора на самом деле определяется правильными знаками в векторных уравнениях.
Попробую это объяснить более наглядно.
Помните, мы с вами проходили понятие момента вращения произвольного твердого тела с произвольным количеством приложенных к нему сил?
Так вот представьте себе, что "точка подвеса" - это наша точка пространства, "радиус вектора" - это радиус вектора положений свободных единичных зарядов вокруг нашей точки, а "вектора сил" - это вектора сил, действующих на частицы со стороны электрического поля Е. Существенное замечание - тело бесконечно малое.
Тогда, скажу вам по секрету, ротор можно аналогично тому, как мы с вами считали вращающий момент. (Докажите, что это так! Или что это не так. Первый, кто докажет, получит в качестве приза цифровую ручку от нашего генерального спонсора)
Кто найдет существенную ошибку в изложении материала, также получит в качестве приза цифровую ручку от нашего генерального спонсора.
Продолжение следует.