Из всех операций, которые можно применять для решения физических задач, есть одна, знание которой позволяет практически "в уме" решать множество задач про электромагнитные силы и поля, вращение твердых тел и много-много других.
Более того, понимание сути данной математической операции ставит вас на целую голову выше остальных, в понимании физики.
На первый взгляд странная операция при ближайшем рассмотрении оказывается очень простой.
Итак, векторное произведение векторов
Но вначале кое-что важное.
Очень важное замечание!
Здесь и в дальнейшем (и в предыдущем изложении) мы всегда рассматриваем «Правую» систему координат.
Правая система координат! Берем правую руку. Раскрываем ладонь перед собой. Оттопыриваем большой палец – это положительное направление оси X. Четыре пальца перпендикулярных большому показывают положительное направление оси Y. Тогда из открытой ладони прямо на вас перпендикулярно осям X, Y будет выходить положительное направление оси Z.
Сильно хлопаем себя открытой ладонью правой руки по лбу! Навсегда запоминаем правильное расположение системы координат.
Если рисовать неправильную систему, то будут ошибки.
Итак, определим векторное произведение векторов:
Возьмем нашу правую систему координат и зададим три единичных вектора, по одному вдоль каждой из осей.
Тогда любой вектор
можно записать в виде суммы трех векторов
Легко заметить, что скалярные произведения наших единичных векторов
Эта удобная тройка векторов очень пригодится нам в дальнейшем.
Помним! Вектора при переходе от одной системы координат к другой не меняются.
И результаты векторных операций при переходе от одной системы координат к другой также не меняются!
И вот существует такая операция над векторами, называемая "векторное произведение векторов"
«Ну и ну! Как это? Для чего?»
Все очень просто!
Для начала убедимся, что векторные произведения наших единичных векторов между собой:
Надеюсь, все уже увидели, что от перемены местами сомножителей меняется знак векторного произведения?
Поиграв с единичными векторами, убедитесь что векторное произведение двух векторов дает в результате вектор, перпендикулярный плоскости, в которой лежат вектора сомножители, а по модулю равный площади параллелограмма, ограниченного векторами сомножителями!
Всегда во всех задачах выбирайте правую систему координат так, чтобы было просто и удобно! Как на картинке выше.
Зачем нужна операция векторного произведения векторов, определенная выше?
Рассмотрим задачу «о рычагах».
Пусть у нас есть твердое тело, представляющее из себя систему из трех стержней, жестко скрепленных в одной точке. И эта точка закреплена в пространстве так, что она является центром вращения («точка закрепления шарнира»). Как на рисунке ниже.
К концам стержней приложены силы
Силы создают вектора моментов сил – «крутящие моменты», приложенные к нашему твердому телу.
Момент силы - это модуль вектора момента силы. Синонимы вектора момента силы: крутящий момент, вращательный момент, вертящий момент, вращающий момент).
Наглядно представить себе вектор момента силы можно следующим образом:
Представьте себе юлу (детскую игрушку «волчок»). Чем сильнее мы его закрутим за ось, тем быстрее и дольше он вращается. Закрепим ось волчка на какой-то прямой так, чтобы она могла свободно вращаться. Представьте теперь, что вы будете тянуть за тело волчка, стараясь повернуть его вокруг закрепленной оси. А ваш товарищ будет пытаться удержать ось рукой. Представили?
Будет ли волчок поворачиваться вокруг оси?
И если вы будете тянуть его в одну сторону, а ваш товарищ в другую, то в какую сторону будет поворачиваться волчок?
В ту, чья сила больше?
Не совсем.
Представим ситуацию на картинке выше. Вы взялись ближе к оси, а ваш товарищ взялся за диск. Если ось достаточно тонкая, а диск достаточно большой, то как бы вы ни старались, волчок будет поворачиваться в сторону вашего товарища. Хотя силу вы приложите гораздо большую, чем он.
«Рычаг», скажете вы. И будете правы!
Задача о рычагах по сути аналогична. И решается она очень просто с использованием операции векторного произведения, которую мы с вами рассмотрели выше.
Из формул (74) - (76) мы знаем, что векторное произведение двух векторов есть вектор, который по направлению перпендикулярен плоскости, в которой лежат вектора сомножители. Величину этого вектора по модулю можно вычислить с учетом формул (71) – (73), а модуль вычисляется по простой формуле:
Так вот, вектор момента силы, приложенной к телу, равен векторному произведению радиус-вектора точки приложения силы умноженному на вектор силы.
Начало координат удобнее выбирать в точке закрепления тела на шарнире (например, в точке подвеса перекладины рычажных весов). Можно в любой другой.
Но мы с вами начало координат всегда берем в точке, относительно которой тело может поворачиваться. Потому, что так проще вычисления.
Складывая вектора моментов всех приложенных к телу сил мы автоматически находим результирующий вектор, который и определяет в какую сторону и насколько интенсивно будет вращаться наша тройная гантель, показанная на рисунке выше.
Вдумайтесь! Мы просто складываем три вектора момента, от каждой из сил.
Если сумма равна нулю, то наше твердое тело «стоит на месте». Если не равна нулю, то наше тело имеет ненулевой момент сил относительно «точки подвеса» в плоскости, перпендикулярной нашему вектору суммы моментов.
И угловое ускорение, которое пропорционально модулю этого вектора.
Можно обобщить задачу на произвольное твердое тело с закрепленной в пространстве точкой подвеса и неограниченным количеством приложенных сил, как показано на рисунке. ниже.
Оно будет вращаться относительно оси, в которой лежит наш результирующий вектор момента сил.
И вращение будет тем интенсивнее, чем больше этот результирующий вектор по модулю.
Направление вращения будет зависеть от направления этого вектора. Направлен в одну сторону, вращается тело в одну сторону, направлен в другую, тело вращается в обратную.
Причем, если тело закрепить на оси, как в случае рассмотренного нами волчка, то задача становится двумерной. Вращение может быть только относительно оси и, соответственно, можно рассматривать моменты сил, только в системе координат, перпендикулярной оси. Это вы можете рассмотреть сами.
Вопрос: каково условие невращения твердого тела в общем случае, показанном на рисунке 11? Другими словами, при каких условиях общий (суммарный) момент вращения тела равен нулю?
Ответ: Если сумма моментов всех сил равна нулю, то тело находится во «вращательном равновесии» - т.е. не имеет суммарного момента вращения.
Эта задача – более общая по отношению к школьной задаче о рычагах, изображенной на рисунке ниже.
Благодаря определенной нами операции векторного произведения векторов задача решается в одно действие.
Решите ее самостоятельно!
Или посмотрите решение в нашем учебнике.
Первому, кто ответит на вопрос, почему ось вращения вращающегося волчка (Юлы) обычно не "стоит" строго параллельно, а совершает некие колебания вокруг некой оси, получит в подарок цифровую ручку от нашего спонсора. Ответы можете писать на странице в facebook.
Так же, как всегда, получит подарок тот, кто первым найдет принципиальную ошибку в изложении материала.
Ну и как всегда ставьте лайки и подписывайтесь на канал!