"Ух ты, физика!". Часть 9.
Фишка 20. "Вычисления производим покомпонентно. Вывод формул - всегда в векторной форме!"
Что такое вектор? Чем он отличается от скаляра?
В физике существуют скалярные величины (скаляры) и векторные величины (векторы). Хотя, правильнее в последнем случае все-таки говорить векторная величина, часто говорят, например, "вектор скорости".
Упрощенно можно сказать, что скаляр - это просто число.
Векторная величина - это когда есть число, которое имеет еще и направление в пространстве. Вектор в трехмерном пространстве можно представить в виде тройки чисел, каждое из которых есть компонента вектора относительно соответствующей координаты в трехмерной системе координат.
Для нас важно понять два момента:
1) Примерами скаляров являются: длина, площадь, время, масса, плотность, температура и т.п.
Для школьных задач достаточно понимания скаляра, как величины (числа с размерностью) без направления.
2) Под вектором мы будем понимать направленный отрезок. То есть три числа (мы ведь живем в трехмерном пространстве), которые преобразуются по определенным правилам при переходе от одной системы координат к другой.
Обойдемся без математических формул этих правил. Просто представим в нашем трехмерном пространстве направленный отрезок. Некую стрелку, которая, для простоты, неподвижна, неизменна, и имеет направление от одного конца к другому. Или даже представим, что у нас есть определенная операция перемещения в пространстве. У нее есть величина (расстояние перемещения по прямой из начальной точки в конечную) и направление.
И представим систему координат (например, прямоугольную, как на рисунке выше), которая неподвижна относительно нас, и начало отсчета которой совпадает с началом нашего направленного отрезка.
Представили?
Отлично! Тогда координаты «заостренного» конца нашего «направленного» отрезка с началом в точке (0,0,0) в этой системе координат будут выражаться тремя числами (Ах, Аy, Аz). Будет ли эта тройка чисел вектором?
Будет! Мы же сами задали эти три числа, как компоненты вектора.
Теперь мы берем и поворачиваем произвольно нашу систему координат (но пока не сдвигаем начало координат). Тогда в новой системе координат координаты нашего вектора будут (Аx', Аy', Аz').
Заметьте, сам наш вектор (направленный отрезок в трехмерном пространстве) не изменился. Как бы мы не вращали систему координат, тройка чисел будет меняться, но вектор (в смысле направленного отрезка) останется на своем месте. Он смотрит в одну и ту же «точку вселенной». О как! И длина его не меняется при вращении системы координат.
А теперь вывод. То, что важно для физики!
Если у нас есть три какие-то величины (возможно, мы даже не знаем, связаны ли они между собой), которые изменяются с изменением системы координат, по такому же закону, по которому изменяются компоненты вектора А из предыдущего абзаца ((Ах, Аy, Аz) --> (Аx', Аy', Аz')), то мы можем смело утверждать, что эти три величины представляют собой компоненты какого-то вектора.
Формулы можно посмотреть у Фейнмана (Фейнмановские лекции по физике) или еще где-нибудь. Они для понимания не столь важны.
Важно разобраться в следующем:
Путь вектор или скаляр? Скаляр. Почему?
Перемещение? Вектор. У перемещения есть начало и конец, есть величина перемещения и направление перемещения. Таким образом, у него три компоненты - три величины, по одной на каждую из координат.
Далее самостоятельно перебирайте все физические величины и определяитесь, что есть скаляр, а что вектор!
Почему важно при решении физических задач всегда записывать формулы в векторной форме и оперировать с формулами тоже только в векторной форме?
По двум причинам:
1) Это гораздо проще и быстрее.
2) При этом гораздо меньше шансов совершить ошибку.
Таким образом, резюмируем нашу двадцатую фишку.
1. Читаем условие задачи
2. Определяемся с подходящей физической моделью
3. Выписываем необходимые формулы в векторной форме
4. Выводим в векторной форме результирующее уравнение
5. Решаем его покомпонентно
Всегда?
Ну, почти всегда. Конечно есть в экзаменационных билетах задачи, которые решаются в уме. Есть конечно и задачи, которые вообще описываются скалярными уравнениями. Но если задача "про вектора", то только в векторной форме делайте вывод формул!
Ну и на десерт задача:
В трехмерном пространстве дан вектор силы F с компонентами (2, 4,6) и вектор перемещения материальной точки S с компонентами (12, 13, 165). Найти работу A по перемещению материальной точки, произведенную силой F.
Формула для решения приведена прямо на рисунке. Нужно только вычислить модули векторов и угол между ними. Задача несложная, но достаточно нудная.
Но!
Мы с вами работаем с векторами. И мы знаем, что работа (та, которая сила, умноженная на перемещение вдоль силы, или, по-другому, перемещение, умноженное на силу вдоль перемещения, или просто сила, умноженная на перемещение в одномерном случае) в нашем трехмерном «векторном» случае будет равняться скалярному произведению вектора силы на вектор перемещения материальной точки под действием этой силы.
И вместо того, чтобы считать механическую работу равную модулю вектора силы, умноженному на модуль вектора перемещения и умноженному на косинус угла между векторами силы и перемещения.
В случае, если вектора силы и перемещения заданы в виде троек компонентов векторов по соответствующим осям прямоугольной системы координат, гораздо проще, чем вычислять модули и косинус угла между векторами, прямо посчитать работу по формуле скалярного произведения векторов. Это просто сумма произведений соответствующих компонент.
В физическом смысле, мы просто складываем между собой три работы (по каждой из осей отдельно как бы своя работа). Это возможно (складывать компоненты работы по разным осям) только в случае, когда эти компоненты скаляры. Мы не будем вдаваться в подробное доказательство. Отошлем читателя за подробностями в интернет.
Ответ: А = 2 * 12 + 4 * 13 + 6 * 165 = 2057 Дж.
Просто запомните формулу (67) и смысл скалярного произведения векторов!
Для самостоятельного изучения:
К понедельнику попробуйте разобраться с операцией векторного произведения векторов самостоятельно.
Очень важное замечание!
Здесь и в дальнейшем (и в предыдущем изложении) мы всегда рассматриваем «Правую» систему координат.
Если вправо направить ось X, вверх ось Y, то ось Z будет как бы входить в нас (идти в положительном направлении на нас, а не от нас). Это очень важно никогда не забывать. В противном случае в формулах будут ошибки. И особенно большая путаница будет при изучении электромагнетизма с его правыми и левыми руками.
Правая система координат! Берем правую руку. Раскрываем ладонь перед собой. Оттопыриваем большой палец – это положительное направление оси X. Четыре пальца перпендикулярных большому показывают положительное направление оси Y. Тогда из открытой ладони прямо на вас перпендикулярно осям X, Y будет выходить положительное направление оси Z.
Необходимо запомнить и никогда не путать!
Да, кстати. Не забываем, что за каждую найденную в изложении существенную ошибку первый, кто о ней сообщит здесь, получит в качестве вознаграждения цифровую ручку от нашего спронсора!
