Ух ты, физика! Часть 8, начало.
Когда я учился в школе, я никак не мог понять вывод формулы для ускорения тела, равномерно двигающегося по окружности.
Откройте соответствующий раздел учебника!
В школьном учебнике для вывода этой формулы используется следующий метод.
Берутся вектора скорости тела (материальной точки), движущейся равномерно по окружности в двух соседних точках. Вычитается один из другого. И затем авторы пытаются доказать, что получившийся в результате вектор перпендикулярен векторам скорости.
В некотором пределе. Т.е. если два наших вектора скорости берутся в очень очень близких точках.
Но, исходя из здравого смысла, мы рассматриваем вектора, которые никак не могут образовать прямоугольный треугольник. И как бы мы их не вычитали, у нас не получится перпендикуляра. У нас всегда угол при основании будет углом в равнобедренном треугольнике. А в равнобедренном треугольнике не бывает прямых углов. Во всяком случае, в Евклидовом пространстве это так.
А если мы переходим к пределу сближения векторов скорости, то вектора совпадают и вектор разности будет равен нулю.
В общем, представить себе на уровне здравого смысла этот переход от векторов скорости к вектору ускорения у меня не получалось никак.
Зато, как только я познакомился с понятием производной векторной функции, все тут же стало на свои места.
Берем векторную функцию скорости. Дифференцируем ее по времени. Получаем векторную функцию ускорения.
Что-то может быть проще?
Давайте рассмотрим классическую задачу про движение материальной точки по окружности с постоянной скоростью!
Задача про равномерное движение по окружности
Сейчас мы с вами выведем все формулы методом дифференцирования уравнений движения. Последовательно, что называется, "в лоб".
Просто для того, чтобы полюбоваться красотой нашего метода, а в основном простотой и совершенством законов нашего физического мира.
Итак дано:
Материальная точка двигается равномерно по окружности. (В первом приближении похоже на движение Земли вокруг Солнца или Луны вокруг Земли.)
Заметьте!
Мы не знаем, пока, причины такого движения и не знаем силы, действующие на нашу материальную точку.
Мы только знаем, что точка двигается по окружности радиуса R с постоянной по модулю скоростью.
Тогда мы можем записать уравнения движения в прямоугольной инерциальной системе координат XYZ. Причем, пусть движение происходит в плоскости XY, тогда координата Z(t) всегда равна 0:
где функция ф(t) зависимости угла между радиус-вектором точки, проведенным из начала координат, и осью X от времени. При равномерном движении этот угол изменяется с постоянной угловой скоростью {Омега} [радиан/с]. (К сожалению, в Дзене нельзя вводить буквы греческого алфавита. Поэтому включите свое воображение. Или перечитайте соответствующий параграф в нашем учебнике.)
Найдем функции скорости и ускорения для данной материальной точки.
Находим первые, а затем и вторые производные по времени.
Первые производные по времени от функций координат будут являться функциями зависимости компонентов скоростей по соответствующим координатам материальной точки от времени.
С помощью таблиц производных тригонометрических функций (или с помощью онлайн системы вычисления производных в интернете) находим, что производные синуса и косинуса равны:
Из формул (36), (37), (38) получаем дифференцированием по t:
Модуль вектора скорости V(t) равен корню квадратному из суммы квадратов компонент. Надеюсь, все помнят, как находить длину гипотенузы прямоугольного треугольника из длин катетов!
Чего и следовало ожидать. Скорость, действительно, постоянна по модулю!
А ускорение?
Дифференцируем функции скоростей по времени t, получаем функции компонентов ускорений по соответствующим осям координат:
Следовательно, модуль вектора ускорения аналогично предыдущему равен:
Из формул (45), (46) и (47) видно, что ускорение всегда направлено к центру.
Догадайтесь, почему!
И оно, ускорение, тоже постоянно по модулю. И если масса тела у нас постоянна, то значит, и сила притяжения к центру при таком движении так же должна быть постоянна по модулю.
На этом можно было бы остановиться.
Мы вывели уравнения для скорости и ускорения, которые описывают равномерное движение материальной точки по окружности. К тому же определили, что скорость и ускорение по модулю являются постоянными. И зависят от радиуса окружности R, и некой постоянной 𝛚.
Но что такое эта самая постоянная 𝛚?
Это угловая скорость.
Это скорость обращения в радианах?! Знаете, что такое радиан? Что такое радиан, можно посмотреть в интернете. Это угол, измеренный в радиусах, отложенных по окружности.
В 180 градусах умещается π радианов = 3,14…… радианов. Радиан – безразмерная величина, типа доли. Просто столько-то радианов. Если умножим на величину радиуса окружности в метрах, получим длину дуги нашей окружности (величиной в столько-то радианов) в метрах.
Размерность нашего 𝛚 – [1/с]. Правильно! В формуле (46) размерность у ускорения – [м/с2].
У чего еще есть размерность [1/с]? У частоты вращения!
Мы продолжим рассмотрение кругового движения в последующем. Пока же ограничимся еще одной формулой. Вы, надеюсь, знаете, что период T обращения есть величина обратная частоте?
Так? Тогда из (51) следует:
Мы «убрали» зависимость от времени у модуля ускорения, поскольку оно (по модулю) не зависит от времени.
Заметим так же, что формулы (50) - (53) скалярные, а не векторные.
Предлагаю вам самостоятельно вывести формулу зависимости модуля ускорения a от модуля линейной скорости V и радиуса R.
Заметьте, мы вывели формулы аналитически. Просто из заданных уравнений движения (X(t), Y(t), Z(t)).
Мы задали зависимость координат от времени и простым дифференцированием нашли зависимости от времени скоростей и ускорений.
Точнее, установили их независимость от времени.
Мы с вами аналитически вывели, что для равномерного движения по окружности телу с постоянной массой (материальной точке) нужно придать ускорение, постоянное по величине и направленное к центру окружности, вдоль которой движется тело.
Но самое главное, мы вывели уравнения зависимости периода обращения такого тела (материальной точки), ускорения и радиуса орбиты.
И оказалось, что действительно период обращения космического корабля вокруг Земли, например, зависит только от радиуса орбиты и ускорения, придаваемого кораблю Землей.
В следующей части мы с вами, используя этот метод, на одной странице построим целую теорию движения геостационарных спутников Земли.
Кстати, если вам понравилось, подписывайтесь на канал! И, наверное, ставьте лайки!
