Данные математические операции либо не имеют смысла, либо приводят к неопределённости.
Деление на ноль
Можно сколько угодно рассуждать на эту тему, но запись a/0 не имеет смысла, так как не существует числа, которое при умножении на 0 даёт а.
Тангенс 90 и котангенс 0
Этот запрет является следствием того, что нельзя делить на ноль. Тангенс вида tg(π/2 ± πk) и котангенс вида ctg(0 ± πk) , где k - целое число, невозможно вычислить.
Квадратный корень отрицательного числа
Любое число, возведённое в квадрат всегда будет положительным, следовательно не существует квадратных корней отрицательных чисел. Это правило распространяется не только на квадратные, но и на корни всех чётных степеней (2, 4, 6, 8, ..).
Десятичный логарифм отрицательного числа
Десятичный логарифм имеет вид lg x = b, и определяется как показатель степени, в которую надо возвести 10, чтобы получить число b. Не существует такой степени десятки, которая давала бы отрицательный результат.
Факториал отрицательного числа
Из определения следует, что факториал (n!) - функция, определённая на множестве неотрицательных целых чисел, значение которой равно произведению всех натуральных чисел от 1 до n включительно. Следовательно запись вида -n! не допустима (для отрицательных чисел существует гамма-функция).