Все из нас учились в школе и изучали математику, для кого-то это был скучный предмет и «на уроках вы пускали бумажные самолетики», а для кого-то математика занимала не последнее место в списке любимых школьных предметов.
Каждый новый учебный год изучение математики начинается с повторения пройденного материала и часто оно начиналось с разговора о числах. С 1 по 4 класс вы знакомились с натуральными числами (обозначаются буквой ℕ) (это числа: 1, 2, 3, 4,... (нужны при счёте (нумерации) предметов), потом знакомились с целыми числами (здесь грамотнее сказать: «со множеством целых чисел», оно обозначается буквой ℤ), это числа: …, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3,… и т.д. в обе стороны. Здесь нужно заметить, что множество целых чисел содержит в себе натуральные числа, нуль и отрицательные числа, они появляются когда у нас нехватка чего-либо или у нас убыток чего-нибудь, например минус 120 рублей на счёте мобильного телефона.
С 4 (или 5) по 6 класс вас уже знакомят с понятием дроби и определяют понятие рациональных и иррациональных чисел, где рациональные (обозначаются буквой ℚ) – это числа, которые можно представить в виде обыкновенной дроби вида m/n, где m и n – целые числа, m называется числителем, а n – знаменателем, при этом такой, что n≠0, например: 1/3, 2/3, 6/2 эти числа появляются, когда мы делим целый объект на части и берём их некоторое количество и тогда мы говорим, что взяли некоторое количество долей (частей) от общего. Иррациональные (от лат. irratio «несоотносимый») числа (𝕀) – это такие числа, которые нельзя представить в виде обыкновенной дроби, например √2 для него можно указать только примерное значение (в виде десятичной дроби), например так: √2≈1,4. Немного погодя вас знакомят с заключительным множеством чисел, называемым множеством действительных (или вещественных) (обозначается как ℝ от лат. realis «реальный, вещественный») чисел, оно объединяет все предыдущие множества чисел: натуральных, целых, рациональных и иррациональных. Математически можно записать получение множества вещественных чисел из других так: ℝ=ℚ∪𝕀, где ℚ – множество рациональных чисел, а 𝕀 – множество иррациональных чисел; ∪ – знак объединения множеств: результат объединения – множество, состоящее из тех элементов множеств, из которых состоят объединяемые множества.
После этого у вас должна сложится следующая картина в иерархии числовых множеств (рисунок 1).
До зеленой области (на рисунке) всё понятно, но что можно сказать на счёт синей области, в которую входят все остальные множества. Эта область и называется интересным названием – множеством комплексных (от лат. complex «сложный; составной») чисел. Понятно, что кто-то мог только в первый раз услышать это слово, некоторые уже знакомы с ним, но многие могут задать вопрос: как эти числа появились и зачем нужны они ведь уже и так достаточно понапридумывали разных чисел, не хватает что ли? Разберемся по порядку. Для начала ответим на первую часть вопроса: как появились эти числа? Что бы ответить на этот вопрос нужно разобрать одно интересное, но, на первый взгляд, простое уравнение:
x²+1=0.
Найдем корни, получим:
x²=−1.
Здесь уже могут некоторые удивиться – как может квадрат числа быть отрицательным? Да, такие решения уравнений могут встречаться и они не редкость.
Математика здесь подошла уже не к таким уж очевидным вещам, но я хочу сделать замечание для тех кто говорит, что такие абстракции – это бред больной фантазии математиков. Чтобы понять причину появления нового множества чисел нужно разбираться в истории математики. Скажем только, что введение этих чисел было обусловлено возможностью решать уравнения, пример которых был показан выше и множество других причин.
Следующая часть вопроса: где они применяются? Электротехника, например: для расчета цепей переменного тока поголовно используются комплексные числа. Это очень удобно: представлять реактивные токи по мнимой оси, а активные по действительной (слова трудно понимаемые, но и понимать нам их сейчас не надо). Расчеты сводятся по сути к сложению, умножению, вычитанию и делению комплексных чисел. А без них пришлось бы решать интегрально-дифференциальные уравнения, что во много раз сложнее. Ещё примером их применения является квантовая механика, в ней тоже используются комплексные числа для вычисления волновой функции, которая выглядит вот так:
Теперь разберемся с определением и видом комплексных чисел:
Определение.
Ко́мпле́ксные числа – числа вида a+bi, где a и b – вещественные числа; i – мнимая единица, то есть число, для которого выполняется равенство: i²=−1 (ничего не напоминает... Да это квадрат нашего x, уравнения x²+1=0).
Мни́мая едини́ца – комплексное число, квадрат которого равен −1 (минус единице), то есть i²=−1.
Вообще общий вид комплексного числа такой: z=a+bi, где число a называется действительной частью, а число b – его мнимой частью, также встречается трактовка того, что мнимой частью называют произведение b и мнимой единицы i.
Далее разберемся с тем, какие арифметические действия можно производить над комплексными числами.
Вообще говоря, действия над комплексными числами определены так, чтобы над операциями выполнялись все три основных свойства чисел:
- коммутативность (переместительное свойство) – это когда a+b=b+a;
- ассоциативность (сочетательное свойство) – это когда a+(b+c)=(a+b)+c;
- дистрибутивность (распределительное свойство) – это когда a⋅(b+c)=a⋅b+a⋅c.
Например: 2+3i=a, 5+5i=b. Найти a+b. Решение: 2+3i+5+5i=7+8i. И так со всеми любыми другими операциями: умножением, делением, вычитанием, возведением в степень…
Умножение проходит как и при обычном произведении сумм чисел, например найти произведение чисел: a=2+4i и b=1−2i. Получим, a⋅b=(3+5i)⋅(1−2i)=3⋅1−6i+5i+10=13-i. Хочу заметить, что, когда мы находили произведение 5i на (−2i), то перемножая их мы получим квадрат i, а он, как мы знаем, равен −1 и поэтому произведение равно 10.
С делением немного сложнее. Для начала нужно ввести новое понятие, а именно сопряженное комплексное число данному комплексному числу. Оно определяется просто...
Определение.
Сопряженным числом z' числу z=a+bi называется такое число, что z'=a−bi. То есть в сопряженном числе знак между действительной и мнимой частями всегда противоположен знаку того числа, с которым он сопряжен. Можно даже так запоминать знак сопряженного числа: если z=a±bi, то z'=a∓bi.
Теперь можно поговорить о том как делить комплексные числа.
Если у нас есть два комплексных числа, одно из которых мы делим на другое, то нам нужно числитель и знаменатель дроби домножить на число сопряженное знаменателю. Затем произвести перемножение в числителе и знаменателе и, при возможности, упростить полученные выражения.
Например, разделить a=3−i на b=7+2i.
Можете попробовать сами решить вот такой пример: (9+i)/(3−2i).
Ответ: 25/13+21i/13.
Комплексные числа в математике также как и обычные числа могут быть изображены графически, мы помни как в школе рисовали числовую ось и на ней обозначали числа, это выглядело как-то так (рисунок 2)...
Но комплексные числа на то и комплексные (от лат. complex «сложный»), потому что состоят из двух частей: действительной и мнимой, поэтому представление комплексных чисел нуждалось в модификации числовой оси конкретно – требовалось добавить ось, которая была бы перпендикулярна нашей изначальной оси (теперь называемой действительной; обозначение «Re»), назвав её мнимой (обозначение «Im» от лат. imaginarium – «воображенный, выдуманный»), а саму систему изображения чисел – комплексной плоскостью. Выглядит она так (рисунок 3)...
По рисунку видно, что таким образом комплексное число задается с помощью значений «икса» (x) и «игрека» (y), которые задают наше комплексное число z. Кстати, с помощью графического способа представления чисел можно показать сопряженные числа вот так (рисунок 4).
На рисунке сопряженное комплексное число число обозначено буквой z с чертой над ней.
Да, и ещё одна форма представления чисел – тригонометрическая, она как раз представлена на этом рисунке. Чтобы описать комплексное число z тригонометрически нам нужно модифицировать комплексную плоскость, а именно нужно выбрать одну из осей в качестве направления отсчета угла поворота (далее скажем чего). Далее нужно выбрать точку отсчёта (или начало отсчёта; оставим точку центра системы координат за точку отсчёта) и от неё отложить так называемый полярный радиус (в физике ему дано иное название и вы его, возможно, слышали – радиус-вектор). Тогда на плоскости комплексное число можно задать, т.е. описать точку, которая это число обозначает, как угол поворота этого полярного радиуса и его длины от начала отсчета до этой точки (см. рисунок 4). Из такого представления (описания) можно выразить привычные нам абсциссу (действительную часть) комплексного числа и ординату (мнимую часть) комплексного числа через определения синуса и косинуса, т.е. его абсцисса x равна: x=rcos(φ), а ордината y=rsin(φ). Тогда комплексное число равно: z=x+yi=rcos(φ)+risin(φ)=r(cos(φ)+isin(φ)). С помощью тригонометрической записи комплексных чисел можно записать одно из важнейших соотношений называется оно формулой Муавра:
Она показывает то, как возводить комплексные числа в натуральную степень. Её доказательство просто, здесь оно не приведено – его можно найти в Интернете.
Подводя итог скажу, что помимо комплексных чисел были придуманы еще более фантастические числа, называемые гиперкомплексными, это: кватернионы, октонионы (𝕆) и седенионы, но это уже слишком сложная тема, чтоб на пальца её рассказать.
Вот собственно это всё, что я хотел вам рассказать. Так вы, прочитав эту статью, получили базовые представления о комплексном исчислении.