Основная разница в том, что марксизм - это учение, а коммунизм и социализм - стадии коммунистической формации внутри этого учения. Конечно, существуют еще множество определений социализма и коммунизма, но т.к тут затронут марксизм, то я буду пользоваться только этими.
Социализм, если брать только марксизм (не марксизм-ленинизм, сталинизм и т.п) и не трогать тот же анархизм - это первая стадия коммунизма, формации особенности которой определяются общественной собственностью на средства производства, соответствующей высокоразвитым общественным производительным силам. В первых чертах определения этому понятию дал Маркс в "Критике Готской программы"(рекомендую прочитать для полного понимания):
«Мы имеем дело не с таким коммунистическим обществом, которое развилось на своей собственной основе, а с таким, которое только что выходит как раз из капиталистического общества и которое поэтому во всех отношениях, в экономическом, нравственном и умственном, сохраняет ещё родимые пятна старого общества, из недр которого оно вышло»
То есть в сознании и быте людей все ещё сохраняются пережитки капиталистического общества, точно так же как и во всех предыдущих обществах сохранялись пережитки еще более древних обществ в виде обычаев и традиций. При этом надо учитывать, что перед этой стадией так же имеется переход между капитализмом и ей (диктатура пролетариата), но в вопросе про это не спрашивали, так что продолжим. Частная собственность упразднена. На её место приходит общественная. Труд также все ещё является необходимостью, а распределение происходит по принципу "От каждого по способностям, каждому - по потребностям". На этом же этап происходит отмирание государства (т.к классов уже нет, а значит отсутствует подавление одного класса другим) и замена его самоуправлением.
Как я сказал выше в настоящий момент термин "социализм" используется повсеместно и у людей разных взглядов имеет различные значения: особо упоротые рыночные фундаменталисты называют социализмом любое вмешательство государства в экономику, соцдемы приводят в пример страны Скандинавии, сталинисты - СССР, анархисты - Арагон и Каталонию во время Испанской Революции 1936-39гг.. Был ли социализм в СССР? Этот вопрос является холиваром, который требует отдельного вопроса и который тут поднимать вряд ли стоит, ибо он затрагивает целый ряд больших теорий от деформированного рабочего государства, государственного капитализма до реального социализма.
Коммунизм же в узком смысле - высшая стадия коммунистической формации, которую также иногда называют полный коммунизм (full communism). Маркс ни оставил ни каких подробного описания функционирования коммунистического общества, что ожидаемо, т.к он считал, что любая попытка описать его попахивает утопизмом (яркие примеры: "Государство" Платона, "Утопия" Мора, "Путешествие в Икарию" Кабе и "Вести ниоткуда" Морриса) , которым занимались утопические социалисты (Фурье, Оуэн, Сен-Симон). Он ограничился только такими словами в той же "Критике Готской программы": «На высшей фазе коммунистического общества, после того как исчезнет порабощающее человека подчинение его разделению труда; когда исчезнет вместе с этим противоположность умственного и физического труда; когда труд перестанет быть только средством для жизни, а станет сам первой потребностью жизни; когда вместе с всесторонним развитием индивидов вырастут и производительные силы и все источники общественного богатства польются полным потоком, лишь тогда можно будет совершенно преодолеть узкий горизонт буржуазного права, и общество сможет написать на своем знамени: Каждый по способностям, каждому по потребностям!».
Ответ, возможно, получился скомканным, но я и не претендую на абсолютно точное и строгое описание и советую все же почитать "Критику Готской программы", где все это расписывается основательно. Для ознакомления же с основными идеями марксизма следует прочитать "Анти-Дюринг"и первую главу "Немецкой идеологии" (если время позволяет), ну или хотя бы "Развитие социализма от утопии к науке" Энгельса, где в трех маленьких главах описывается история формирования социалистической мысли (I глава: утопический социализм, II глава: диалектика, III глава: исторический материализм).