До морковкина заговенья — шутливое выражение, обозначающее ‘неопределенно долго, до бесконечности’.
Заговенье — это последний день перед постом, когда можно есть всё, в том числе мясо и молоко. Естественно, в этот день верующие старались есть как можно больше и как можно более запретную в пост пищу.
Поэтому сочетание слова заговенье с морковью, постной и абсолютно не популярной накануне поста, воспринималось как что-то невозможное.