Начнем с того, как можно сложить все натуральные числа. Натуральные числа - это числа, которые используются для счета цельных предметов - они все целые и неотрицательные.
Сумма всех натуральных чисел будет выглядеть так: 1 + 2 + 3 + 4 ... = и так до бесконечности. Ряд натуральных чисел бесконечен - это очень просто доказать ведь к любому числу можно прибавить любое число.
Сейчас я покажу кое-какую сумму и мы посмотрим на её решение.
1 + 2 + 3 + 4 + 5 ... и до бесконечности, подумаем что сумма стремиться к бесконечности.
Но эта сумма, как ни странно равна -1/12. Удивительно, но этот результат используется во многих областях физики.
Давайте простым способом выясним, почему суммы всех натуральных чисел на самом деле равна -1/12. Мы найдем решение за несколько шагов. В этом нам помогут три разные суммы.
Первую сумму назовем S1 и она = 1 -1 + 1 -1 + 1 -1 ...
Вторая сумма S2 = 1 - 2 + 3 - 4 ....
Третья сумма S3 = 1 + 2 + 3 + 4 + ...
Разберем S1, ее узнать довольно просто, мы можем остановиться в любое время, если
остановимся на нечетном члене, то ответ будет равен единице.
Если мы остановимся на четном числе то получится 0.
Итак, к чему мы приравняем эту бесконечную сумму на каком числе она остановимся, мы этого не знаем и поэтому берем среднее значение, то есть 1/2. И с помощью этого мы сможем найти S2.
Мы делаем копию из числа 2 и складываем его с самим собой.
Выходит почти такой же ряд, но мы сдвинули нижний ряд на один шаг вправо.
Теперь у нас выходит та же самая закономерность, то есть мы вернулись к той сумме с которой мы начали.
Мы знаем, что эта сумма будет равна 1/2, тогда просто приравняем .
Теперь можно найти сумму просто поделим на 2 и получим 1/4. И мы знаем, что вторая сумма где чередуются знаки равна 1/4.
Теперь мы знаем все, что нужно для того, чтобы прийти к -1/12.
Возьмем S3 и вычтем из неё S2. У нас получится 4 + 8 + 12 + ... Давайте вынесем 4 за скобки, получится
Как мы знаем, что 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... - это S. И мы знаем чему равно S2.
Теперь просто сокращаем на S получаем и делим на 3 и у нас получается -1/12.
Если вы сейчас начнете вбивать 1 + 2 + 3 +... вы никогда не дойдете до -1/12. Потому что конца нет. Это похоже на бред математике, но это не так.
Именно в физике появляются такие суммы и мы не получаем бессмысленных бесконечных ответов.
Вот и все, если вам было интересно - подписывайтесь и ставьте лайки!