А есть ли она? Практически нет. Лишь тонкая смысловая грань, позволяющая интуитивно выбрать то или иное слово в речи.
Заснуть — начало процесса, погружение в сон.
Уснуть — полностью погрузиться в сон. Обозначает свершившийся факт.
Он начал засыпать после нелёгкого трудового дня и наконец-то уснул.
А ещё слово «уснуть» больше используется в художественной речи и обозначает «перестать проявляться, ослабеть, притупиться»; «погрузиться в тишину, безмолвие, покой»; перестать шуметь, казаться безжизненным (о явлениях); «умереть».
Показалось, как будто в природе всё уснуло вечным сном.
