Многие говорят и пишут так: «скрипя сердцем». Вероятно, путая это выражение с другим – «скрипя зубами». Разница в том, что зубами действительно скрипят, а вот сердце – скрепляют.
«Скрепя» – это устаревшая форма деепричастия «скрепив».
Поэтому пишется это слово через Е.
Ну и конечно, скрепляют – что? – сердце. А не сердцем.
Правильно:
скрепя сердце