Думаю, вы все знаете, что самого большого числа просто-напросто не существует - их БЕСКОНЕЧНОЕ КОЛИЧЕСТВО. Однако, в математике есть такие рекорды, как "самые большие числа, которые что-то значат".
Собственно, таких чисел много, но одно из наибольших чисел - число Грэма. Сейчас есть числа и больше, но в своё время это было рекордным числом, что оно даже попало в книгу рекордов Гиннеса.
Думаю, мне нужно начать с малого. Ой, простите, с "малого"...😜
Все вы знаете такие числа, как миллион, миллиард... Ну так вот - это всё детский лепет по сравнению со следующими числами)
Для того, чтобы понять эти большие числа, мы запишем миллион следующим образом: 1 000 000 = 10⁶ (6 - кол-во ноликов после единицы)
Значит:
10⁶ - миллион
10⁹ - миллиард
10¹² - триллион
10¹⁵ - квадриллион
10¹⁸ - квинтиллион
10²⁴ - масса нашей планеты Земля в килограммах
10²⁶ - диаметр Обозримой Вселенной в метрах (однако, космические расстояния неудобно высчитывать в метрах и их высчитывают в световых годах. Общепринятые границы Вселенной составляют 93 миллиарда световых лет)
Световой год - расстояние, которое пройдёт свет за год.Если перевести это в метры - это ~9,46*10¹⁵ метров. Или же примерно 9 с половиной квадриллионов метров.
Однако, я назвал вам далеко ещё цветочки.
Опираясь на данные, полученные вычислениями учёных, наша обозримая Вселенная вмещает в себя 10⁸⁰ атомов.
Один математик, когда гулял со своими детьми, придумал (ну и конечно же запатентовал) число гугол. Это 10¹⁰⁰, т.е. единичка со 100 нулями.
Ну а так же есть число 10¹⁸⁰ - примерно столько планковских объёмов занимает наша Вселенная.
Планковский объём - наименьший известный учёным размер. Составляет примерно 4,22167·10⁻¹⁰⁵ метров в кубе.
Степень равная -105 значит, что всего в числе 105 ноликов, только они записаны немного по-другому. (Например, 10⁻¹ = 0,1 так же 10⁻² = 0,01 и так далее)
Многовато что-то, да?
Но мы ещё ОООООООООООООООООЧЕНЬ далеко до заветного нашего числа)
Кстати, вы же не успели ещё забыть то число гугол? Я просто тогда вам не договорил, что так же тем математиком было придумано число гуголплекс. Это 10 в степени гугол (т.е. 10 в степени 10¹⁰⁰)
Пометочка: я бы записал это сразу одним числом, но тут форматирование неудобное и не позволит этого сделать, поэтому буду использовать символ ^ для обозначения степени)
Уже идёт степень в степени, да?) А ЭТО ЕЩЁ ТЕ ЖЕ ЦВЕТОЧКИ! Хотя, конечно, человек уже не может вообразить это число - оно слишком огромное (да и ничего не значит).
Ну что же, пора переходить после этой разминочки к самому числу!
Число Грэма появилось в работе, посвященной решению одной из задач в теории Рамсея.
Задачи из теории Рамсея - это задачи на комбинаторику, придуманные математиком Франком Рамсеем.
Весь смысл этих задач в том, что берётся какая-нибудь математическая фигура и даётся условие, которое должно выполняться.
Представьте себе куб, все вершины которого соединены линиями–отрезками двух цветов, красного или синего. Соединены и раскрашены в случайном порядке.
Сможем ли мы исхитриться и так подобрать конфигурацию цветов (а их всего два — красный и синий), чтобы при раскраске этих отрезков у нас НЕ ВЫШЛО, что все отрезки одного цвета, соединяющие четыре вершины, лежат в одной плоскости? В данном случае, НЕ представляют из себя такую фигуру:
Можете сами покумекать, покрутить куб в воображении перед глазами, сделать подобное не так уж и сложно. Цвета два, вершин (углов) у куба 8, значит отрезков их соединяющих — 28. Можно так подобрать конфигурацию раскраски, что мы нигде не получим вышеуказанной фигуры, во всех возможных плоскостях будут разноцветные линии.
А что, если у нас БОЛЬШЕ измерений? Что, если взять не просто трёхмерный куб, а четырёхмерный тессеракт?
Если вы не знаете, что такое тессеракт, то советую вам читать мой канал в телеграме, т.к. я рассказывал там об этом и вот пост, где я объяснял, что это за фигура, но, для вашего удобства, я этот пост перенёс сюда, в Яндекс:
Не надо пыжиться и представлять как он выглядит - достаточно формулу подставить) Это же математика) Ну всё таки, т.к. это уже четвёртое измерение - здесь больше возможных комбинаций. Пораскинув мозгами и сделав расчёты, мы убеждаемся, что здесь тоже можно так ухитриться, как и с кубом.
А в пятимерном? Да, тоже можно. Там уже куб будет называться пентерактом, ну или же пентекубом, ну или на крайняк 5-кубом. И в шестимерном тоже можно (там уже гексеракт).
А дальше уже проблемы... Грэм не сумел математически доказать возможность выполнения условий задачи в семимерном, восьмимерном, девятимерном и так далее кубах. Однако, это "и так далее", как оказалось, не уходит в бесконечность! Оно уходит в то самое число Грэма!
Т.е. мы получаем, что уже появляется какая-то минимальная размерность гиперкуба, при которой уже не выполняется это условие. И эта минимальная размерность будет находиться в числе ТОЧНО больше шести и ТОЧНО меньше того самого числа Грэма.
Если вам интересно, то вот держите формулировку на сухом математическом языке:
Рассмотрим n–мерный гиперкуб и соединим все пары вершин для получения полного графа с 2ⁿ вершинами. Раскрасим каждое ребро этого графа либо в красный, либо в синий цвет. При каком наименьшем значении n каждая такая раскраска обязательно содержит раскрашенный в один цвет полный подграф с четырьмя вершинами, все из которых лежат в одной плоскости?
В 1971 году Грэм доказал, что указанная проблема имеет решение, и что это решение (количество размерности) лежит между числом 6 и неким большим числом, которое позже (не самим автором) было названо в его честь. В 2008м году доказательство улучшили, нижнюю границу подняли, теперь искомое количество размерностей лежит уже между числом 13 и числом Грэма. Математики не спят, работа идет, прицел сужается.
С 70-ых годов прошло немало лет, были найдены математические задачи в которых проявляются числа и побольше грэмова, но это первое число–монстр так поразило современников, понимавших о каких масштабах идет речь, что в 1980 году его включили в книгу рекордов Гиннесса, как "самое большое число, когда–либо участвовавшее в строгом математическом доказательстве" на тот момент.
Ну что же, вы не устали? Надеюсь. вы помните те числа, которые я описывал ещё в начале статьи) Ведь теперь мы переходим К САМОМУ ГРЭМОВУ ЧИСЛУ!
Давайте попробуем хоть КАК-НИБУДЬ понять, НА СКОЛЬКО оно велико!
Давайте вспомним, что в Обозримой Вселенной может вместиться 10⁸⁰ атомов. А это значит, что если её заполнить до изнеможения мизерными циферками, то мы получим что-то соизмеримое с гуголплексом (правда нам понадобится ещё около 10²⁰ атомов для этого, ну или же на крайняк можно заполнить кубики планковских объёмов этими цифрами, ведь их побольше - 10¹⁸⁰ в Обозримой Вселенной. Ну а почему бы и нет?). Здорово, правда?
Теперь, думаю, вам есть от чего оттолкнуться, а я вас уже, наверное, подзае... со своими историями, так что к делу!)
Обозначим число. Но не простое, а целое g₁ Думаю, вы не поймёте меня, если я запишу g₁ = 3↑↑↑↑3
Ну а теперь пришло время объяснять!
Число Грэма очень велико, поэтому его можно записать стрелочной нотацией Кнута (придумана математиком Дональдом Эрвином Кнутом)
Итак, одна стрелочка - это возведение в степень
3↑3 = 3³
3↑4 = 3⁴
Две стрелочки - тетрация (т.е. математическая башня из степеней)
3↑↑3 = ³3 = 3^3^3 (значок ^ будет показывать степень)
3↑↑4 = ⁴3 = 3^3^3^3
Нормально? Или для вас этого маловато? Тогда перейдём к пентации!
3↑↑↑2 = ³3 = 3^3^3
3↑↑↑3 = ³^³3 = ⁷ ⁶²⁵ ⁵⁹⁷ ⁴⁸⁴ ⁹⁸⁷3
Так же это может быть записано как 3↑↑↑3 = 3↑↑3↑↑3
3↑↑↑4 = 3↑↑3↑↑3↑↑3
Представьте эту степенную башню троек. Она своим размером уже может легко дотянуться до Марса.
И как мы видим, тут уже гуглплекс, так сказать, соснул. НО МЫ НЕ ЗАБЫВАЕМ, ЧТО g₁ = 3↑↑↑↑3 !!!
Думаю, вам уже понятно, что 3↑↑↑↑3 будет выглядеть как 3↑↑↑↑3 = 3↑↑↑3↑↑↑3 а здесь уже можно креститься-молиться и промывать глаза святой водой (а заодно и мозг).
ОДНАКО ДАЛЕКО ЭТО НЕ КОНЕЦ!
Думаю, вы можете догадаться, что раз есть g₁ то логично, что будет и g₂, а оно ГОРАЗДО БОЛЬШЕ чем какой-то там g₁! Итак, вы готовы узреть? Точно? ТОЧНО? Ну тогда ладно - держите)
Мощно? Только вот загвоздка ещё в том, что ЭТО ТОЖЕ НЕ КОНЕЦ! Есть ещё g₃, g₄, g₃₇... Однако, самый большой g - это g₆₄ Его можно записать так же G = g₆₄
Это и есть то самое число Грэма!
Как мы видим, это довольно точное, однако крайне большое число. Помните, что оно появилось при решении задачки из теории Рамсея? Учтите, что это - не точно определённое число, с которого действие продолжает выполняться, а всего лишь верхняя граница, до которой нужно искать ответ.
Кстати о точности, учёные высчитали и обнаружили его последние цифры. Вот эти последние 50 бедняжек:
...03222348723967018485186439059104575627262464195387
Ну, вроде бы всё) Спасибо вам большое за ознакомление с этой статьёй - я старался описать всё максимально чётко и понятно)