Родился в 1867 году в деревне Брожка Бобруйского уезда Минской губернии в богатой и знатной белорусской шляхетской семье. Выбрав карьеру военного, заканчивает Казанское пехотное юнкерское училище и получает назначение в полк расквартированный в Симбирске. Об этих годах сам Аркадий Францевич писал, что они протекали спокойно и беззаботно, однако монотонно. Молодой офицер стал думать о другой профессии, которая больше отвечала бы складу его характера и которая, по его словам, могла бы быть полезна и в мирное время. С детства он зачитывался детективными романами и понял, что истинное его призвание — криминалистика.
В 1894 году он подал в отставку и поступил рядовым инспектором в Рижскую полицию. С первых же дней молодой сыщик хорошо зарекомендовал себя. Высокая раскрываемость преступлений, личная смелость, применение на практике всего лучшего, что было на то время известно европейской криминальной науке… Отсюда награды и быстрое повышение по службе.
Через шесть лет А. Ф. Кошко был назначен начальником Рижской сыскной полиции, ещё через пять — заместителем начальника Петербургской сыскной полиции, а в 1908 году его назначили начальником Московской.
Большой результат давала разработанная А. Ф. Кошко новая система идентификации личности, основанная на особой классификации антропометрических и дактилоскопических данных. Московский сыск благодаря своим фотографическим, антропометрическим, дактилоскопическим кабинетам создал исключительно точную картотеку преступников. Позднее эта система была заимствована Скотланд-Ярдом. Когда после революции генерал Кошко вынужден был бежать из России, именно англичане предложили ему возглавить у них исследовательский отдел. Московский период в жизни А. Ф. Кошко принес ему славу, ордена и новое повышение. Он был назначен заведующим всем уголовным розыском Российской империи.
На состоявшемся в 1913 году в Швейцарии Международном съезде криминалистов русская сыскная полиция была признана лучшей в мире по раскрываемости преступлений. И неудивительно: возглавлял сыск Аркадий Кошко.
Революция 1917 года прервала блестящую карьеру Кошко. Он вышел в отставку и уехал с семьей в имение Подольно в Новгородской губернии в двух верстах от уездного центра Боровичи. В декабре 1917 г. в Подольно явилась комиссия из уездного центра, которая вывезла мебель. Затем имение было разорено. А.Ф. Кошко с семьей перебрался в Боровичи, а летом 1918 г. уехал в Москву "искать службы". Устроился представителем частной аптеки, но узнав о предстоящем своем аресте А.Ф. Кошко вместе с сыном под видом актера и декоратора в составе театральной труппы бежали в Киев. Позднее послал специального человека за семьей в Москву, который смог вывезти по фальшивым паспортам её в Киев. Оттуда семья Кошко переехала в Винницу, а позднее в Одессу. 7 февраля 1920 г. Красная армия вступила в город, семья Кошко бежала от неё в Севастополь. При П.Н. Врангеле А.Ф. Кошко занимал какую-то должность. П.И. Руднев без ссылки на источник информации утверждает, что он возглавил уголовный розыск. Ольга, племянница А.Ф. Кошко позднее утверждала, что её дядя устроился в "градоначальстве". После падения Перекопа А.Ф. Кошко с семьей выехали в Турцию .
Небольшие накопления, которые удалось вывезти, быстро закончились, и бывшему полицейскому пришлось тяжело — требовалось кормить семью. Вместе с начальником московской охранки А. П. Мартыновым он создал своё частное детективное бюро в Константинополе, начал с советов и рекомендаций, появились заказы. Он сам выслеживал неверных мужей и жён, находил награбленное, давал ценные советы богатым, как сберечь своё имущество от воров. Постепенно дело стало приносить доход. Однако неожиданно среди российских эмигрантов прошел слух, что Мустафа Кемаль собирается выслать всех эмигрантов из России назад к большевикам.
Кошко уехал на пароходе из Константинополя во Францию, где в 1923 году получил политическое убежище. В Париже ему долго не удавалось найти работу: в полицию не брали, на создание детективного бюро требовались деньги. С трудом удалось устроиться управляющим в магазин по торговле мехами. Он всё ещё надеялся, что строй в России изменится, ждал, что его попросят вернуться на Родину. К нему поступали предложения от англичан, которые его хорошо знали и готовы были предоставить ему ответственный пост в Скотланд-Ярде, но он отказывался принимать британское подданство, без которого работа в британской полиции была невозможна.
Скончался генерал Кошко в Париже 24 декабря 1928 года, там же и похоронен. В 2012 году в г. Бобруйске установлен памятник около Управления милиции.
В последние годы своей жизни Аркадий Францевич Кошко успел написать три тома воспоминаний, состоящих из коротких и динамичных рассказов. В них Кошко подробно описал свои наиболее громкие расследования. Первый том, состоящий из 20 рассказов, увидел свет ещё при жизни автора в 1926 году и снискал ему громкую известность в русских эмигрантских кругах, удостоившись похвалы известного писателя А. В. Амфитеатрова. В 1929 году[1], после смерти автора, вышли в свет ещё два тома. Все три тома имели общее название: «Очерки уголовного мира царской России. Воспоминания бывшего начальника Московской сыскной полиции и заведывающего всем уголовным розыском Империи».