Положение точки в пространстве. Плоскости проекций.
Чертежи геометрических объектов в задачах по начертательной геометрии выполняют в двух или трех проекциях.
Плоскость проекций – двухмерна, а пространство – трехмерно. Невозможно на одной плоскости точно изобразить вид какой-либо объемной детали со всех сторон – спереди, сверху, сбоку. Поэтому эти виды изображают в трех ракурсах, которые называют проекциями.
Самый простой геометрический объект - это точка. Точку никак нельзя измерить – у нее нет ни длины, ни ширины, ни высоты, ни площади, ни объема. И все же – это полноценный геометрический объект – у нее есть точно определенное положение в пространстве, которое определяется координатами.
На рисунке 1 представлена часть пространства, ограниченная тремя взаимно-перпендикулярными плоскостями, которые имеют названия:
· Горизонтальная плоскость проекций, обозначается буквой Н. Можно представить, что это плоскость письменного стола.
· Фронтальная плоскость проекций – V. Эта плоскость расположена вертикально перед наблюдателем (плоскость классной доски).
· Профильная плоскость проекций W, вертикальная плоскость справа от наблюдателя.
Пересекаясь между собой, плоскости проекций образуют прямые, которые называют координатными осями и обозначают буквами X,Y,Z. Они пересекаются в точке О, начале координат. Назовем этот трехгранный угол условно Моделью пространства.
Точка А занимает определенное место в пространстве (рис. 1), она находится на расстоянии 15 мм от плоскости W, на расстоянии 30 мм от плоскости V, и на расстоянии 42 мм от плоскости Н. Эти расстояния измеряются вдоль осей и являются координатами точки А:
XA = 15;
YA = 30;
ZA = 42.
Эту запись можно сделать короче: А(15,30,42). Как видим, в скобках указывают сначала координату Х, затем Y, затем Z. Проекции точки А на плоскости H, V и W обозначают соответственно А₁, А₂, А₃. Нужно всегда помнить, что точка – одна, а проекции у нее – три.
Чтобы показать положение точки на чертеже, трехмерную модель пространства как бы «разрезают» по оси У и разворачивают на плоскость. (Поэтому на проекционном чертеже получается «две» оси У).
Проекционный чертеж точки А с координатами 15, 30, 42 показан на рисунке 2 и выглядит гораздо проще, чем рисунок, изображающий точку А в трехмерной модели пространства. На горизонтальной плоскости проекций отражаются координаты Х и У,, на фронтально плоскости – координаты Х и Z, на профильной плоскости отражены координаты Z и У.
Точка А находится в той области пространства, где все три координаты положительны. Однако, как известно, пространство бесконечно, и плоскости проекций также бесконечны. На рисунке 3 показано расположение в пространстве и проекционный чертеж точки В, которая лежит ниже горизонтальной плоскости проекций, а значит, координата ZВ имеет отрицательное значение.
Координаты точки В следующие:
XВ = 15;
YВ = 30;
ZВ = -17.
Упражнение 1.
На рисунке 4 показан чертеж (эпюр) точек С,D, E, F. Напишите, каким точкам соответствуют указанные координаты:
____(30, 10, -50);
____(20, -65, -40);
____(70, 45, 20);
____(-35, 30, 25).
Самостоятельно постройте на чертеже следующие точки: G(15, 40, 80); K(45, -20, 0); L(0, 40, -10).