Многие считают, что математика скучна, но на самом деле - это совсем не так.
Сумма всех положительных натуральных чисел ОТРИЦАТЕЛЬНА.
Как?
Вот ответ - сумма натуральных чисел до бесконечности -1/12?
Все прямые углы равны друг другу.
Ну, это очевидно, не так ли? Ничего особенного придумать нельзя. Неправильно! Евклид жил 2300+ лет назад, не было понятия бесконечности, и он должен был построить целую геометрию с нуля. Однако этот постулат дает ощущение однородности в плоскости. Свойства, которые держат для объекта здесь, держат для объекта там, далеко далеко. Это означает, что есть плоскость, она не изогнута, это означает, что куда бы вы ни пошли, прямой угол всегда будет одинаковым, 90-градусный объект, который мы все знаем. Это то, что делает эти очень немногие слова такими мощными. У Евклида был великий ум, это показывает только часть его величия.
Оставьте Евклида на данный момент и идите вперед во времени 2000 лет более или менее. Здесь мы встречаем Гильберта и его шедевр "основы геометрии". Он предлагает аксиоматическую геометрию построить из Евклида, но с современным взглядом. Гильберт хочет сделать теорию последовательной, не заботясь о том, что такое точка или линия, но только описывая, какие свойства она имеет. На самом деле Гильберт прославился цитатой, которая гласит: “нужно уметь говорить во все времена — вместо точек, прямых линий и плоскостей — столы, стулья и пивные кружки”. Это значит, что у него была совершенно другая точка зрения, чем у Евклида.
Гильберт предлагает вторую аксиому порядка как
Порядок 2: Если A и C - две точки, то на прямой AC существует хотя бы одна точка B такая, что C лежит между A и B.
Что это значит? То, что вы всегда можете найти точку между двумя другими. Это означает, что ... линия имеет бесконечное количество очков!
Понимаете, концепция бесконечности не легкая, Гильберт хотел остаться как можно дальше от нее. Он делает это, подразумевая что-то в одной из своих аксиом. В таком кратком и изящном материале он заявляет о очень важном свойстве линий, даже у Евклида были проблемы с пониманием.
Наконец, третьей аксиомой порядка Гильберта является еще один великий кусок искусства
Порядок 3: из трех точек, расположенных на линии, есть не более одного, которое находится между двумя другими.
Опять же, это может показаться очевидным, мы все знаем, что это за линия. Но помните предыдущую цитату, мы могли бы назвать линию стулом, и все это все равно будет иметь место. Итак, что мы можем извлечь из этой аксиомы? Эти линии не закрыты, они не образуют круг.
В этом примере C находится между A и B (записано как A - C - B), но также C - A - B или C - B - A. В этом случае аксиома больше не выполняется!
В таком случае, хотя это не так, C-A-B не может быть истинным.
И Евклид и Гильберт изо всех сил старались создать согласованную геометрическую аксиоматическую систему, имели разные идеи и жили в разные периоды. Оба умы были великолепны, и когда я впервые начал понимать, что лежит ниже простых слов, я начал очень ценить их работу.