Натуральные числа.
Их ряд выглядит очень просто: 1, 2, 3, 4, 5, ... Казалось бы, что интересного можно найти в них? И тем не менее, за более чем 600 лет, прошедших от основания Пифагором своей секты до написания ее адептом Никомахом Герасским "Введения в арифметику", были обнаружены многие интересные, хотя и немного наивные факты.
Прежде всего, единица считалась началом всех начал, потому что все числа складываются из единиц и к единице стремятся при вычитании и делении.
Дробных чисел древние греки не знали, но понимали, что такое доли. Натуральное число n можно было разбить на доли 1/m, где 1<m<=n, но не все такие доли существовали, а только те, для которых доля была натуральным числом. Например, для числа 6 существовали доли 1/2, 1/3, и 1/6. Четвертой доли числа 6 для древних греков не существовало.
Все числа делятся на четные и нечетные.
Четные и нечетные числа отличаются друг от друга на единицу и, значит, идут в натуральном ряду чередуясь: 1 - нечетное, 2 - четное, 3 - нечетное, 4 - четное и так далее.
Сумма двух четных чисел есть число четное. Сумма двух нечетных чисел есть тоже число четное. И только сумма четного и нечетного числа дает нечетное число.
Всякое число, кроме единицы, есть полусумма чисел, стоящих вокруг него на равных расстояниях. Единица не имеет двух соседей, прилежащих к ней, и потому равна лишь половине одного такого соседа - числа два.
Четные числа.
Четные числа бывают четно-четные, нечетно-четные и четно-нечетные.
Четно-четные числа делятся на 2 сами и результаты их деления тоже делятся на два и так до тех пор, пока после деления не останется одна единица.
Чтобы найти все четно-четные числа, нужно взять единицу, удвоить ее, затем удвоить результат, затем удвоить результат удвоения и так дальше удваивать каждое получившееся число до бесконечности, потому что ряд натуральных чисел бесконечен. Получаются числа 2, 4, 8, 16, 32, ...
У четно-четного числа существуют доли по названию всех четно-четных чисел перед ним, и эти доли равны четно-четным числам, стоящим перед ним.
Сумма последовательных четно-четных чисел, начиная с единицы, равна следующему четно-четному числу минус 1.
Если в последовательности четное количество чисел, то произведение крайних равно произведению средних.
Если в последовательности нечетное количество чисел, то произведение крайних равно произведению среднего на само себя
Четно-нечетные числа можно разделить поровну, потому что они четные, но только один раз, потому что в результате их деления получаются нечетные числа. Это такие числа как 6, 10, 14, 18, 22, 26, ...
Нечетными долями таких чисел являются четные числа, а четными долями - нечетные числа.
Четно-нечетные числа находятся умножением на 2 последовательности нечетных чисел, т. е. чисел, начиная с 1 и идущих с разницей в двойку. Таким образом получаются числа 6, 10, 14, 18, ...
В последовательности из четного количества таких чисел сумма средних чисел равна сумме крайних.
В последовательности из нечетного количества таких чисел полусумма крайних равна среднему числу.
Нечетно-четные числа делятся поровну и их половины тоже делятся поровну, но половины половин или идущие дальше части от деления пополам оказываются нечетными, и таким образом деление рано или поздно останавливается, не доходя до единицы.
Эти числа порождаются хитроумным путем: нужно выписать все нечетные числа, начиная с 3, и все четно-четные числа, начиная с 4. Затем нужно брать по очереди числа какого-либо одного из этих рядов и последовательно умножать каждое число на все числа другого ряда. Произведения следует запоминать, а потом, отсортировав их по возрастанию, мы получим ряд нечетно-четных чисел.
Если же оставить нечетно-четные числа в виде таблицы, то мы увидим, что каждый столбец будет повторять свойство четно-нечетных чисел - сумма крайних равна среднему или полусумме двух средних. В то же время в строках повторится свойство четно-четных чисел - произведение крайних равно произведению средних или квадрату среднего числа, если оно одно.
Так в этом одном виде соединяются свойства обоих других, ибо он является их природной смесью.
Рассказ о свойствах нечетных чисел будет выложен здесь, а впереди нас ждут беседы о совершенных числах и об отношениях, поэтому, ставьте "лайки", подписывайтесь и не пропускайте наши статьи.