Сначала нас в школе учат находить проверочные однокоренные слова, а потом мы допускаем ошибки, когда используем это умение. А всё очень просто: слово экстрим вовсе не является проверочным для слова экстремальный.
Слово экстремальный появилось в русском языке довольно давно. Происходит оно от французского extreme, которое восходит к латинскому extremus — ‘крайний, конечный’. Произносится там именно [э]. В русском языке просто-напросто сохраняется орфография языков-источников.
А вот слово экстрим пришло к нам совсем недавно из английского языка (extreme). Пишется там Е, но произносится [и]. Естественно, в русском языке это слово пишется через И, сохраняя исходное произношение. Слово это совсем молодое и ещё считается разговорным.
Так что экстрим никак не может быть проверочным словом для экстремальный, потому что появилось в русском языке намного позднее, когда написание слова экстремальный уже давно устоялось.
Кстати, экстремал тоже пишется через Е.