Родился 2 января 1889 года в дворянской семье в Херсонской губернии. Окончил Воронежский кадетский корпус в 1906 году. Служил в 12-м уланском Белгородском полку. С 1911 года — поручик. С января 1914 года приступил к лётной подготовке в Гатчинской военно-авиационной школе. По окончании школы с декабря 1914 года — в действующей армии на фронтах Первой Мировой войны. Младший лётчик 4-го корпусного авиационного отряда.
Свой первый самолёт - бомбардировщик «Альбатрос» Казаков сбил 18 марта 1915 года. Причём свершил при этом второй в истории авиации (первым был Нестеров) воздушный таран. И стал первым лётчиком, выжившим после этого смертельно опасного манёвра. За этот подвиг был награждён Георгиевским оружием.
С августа 1915 года — начальник 19-го корпусного авиационного отряда, штабс-ротмистр.
В декабре 1916 года награждён орденом Святого Георгия 4 степени: «За то, что, будучи в чине штабс-ротмистра, 8-го декабря 1916 г., вылетев на самолёте «Ньюпор», типа истребителей, для преследования немецких самолётов, появляющихся над нашим расположением, отогнал в районе Горохова 2 немцев, атаковал третий самолёт в районе д.Забороль, в 5 верстах к западу от Луцка, и двумя пулями в голову убил пилота. Аппарат, кое-как управляемый легко раненым наблюдателем австрийским обер-лейтенантом, упал в нашем расположении и был захвачен нашими войсками.»
В феврале 1917 года — командир 1-й боевой авиационной группы Юго-Западного фронта. Это первое в истории русской авиации истребительное соединение. До этого самолёты в основном рассматривались как разведчики, наблюдатели, бомбардировщики. Боестолкновения в воздухе считались неизбежными помехами при осуществлении этих видов деятельности. Таким образом появились авиационные части, созданные специально для того чтобы уничтожать самолёты противника.
В сентябре 1917 года произведён в подполковники. С ноября 1917 года — исполняющий должность командира 7-го авиационного дивизиона, а в декабре того же года на общем собрании солдат избран командиром 19-го корпусного авиационного отряда.
За три года войны Казаков сбил лично 17 и в составе группы ещё 15 самолётов противника и был признан самым результативным русским лётчиком-истребителем периода Первой Мировой войны.
Октябрьскую революцию Александр Казаков не принял. В июне 1918 года уехал в Мурманск.
Принял участие в Гражданской войне на стороне белых. Воевал в Северной армии, сформированной в Архангельске при поддержке англичан. После того как неизбежность поражения от красных стала очевидна, ему предложили эвакуироваться в Англию. К тому моменту он имел звание майора английских ВВС. Однако он отказался. А через два дня разбился в авиакатастрофе. Говорят, что это было самоубийство.