Анатолий Савельев родился 25 апреля 1946 года в городе Москве. В 1965 году окончил Московский авиационный техникум. После срочной службы работал в НИИ электронно-вычислительной техники. В 1971 году по комсомольской путевке направлен на работу в органы государственной безопасности. В 1972 году окончил спецшколу КГБ. Осенью 1974 года он был зачислен в первый состав группы «А» 7-го управления КГБ - знаменитый контртеррористический отряд «Альфа».
В 1979 году участвовал в боевом крещении Альфы - боях в Кабуле. Часть отряда штурмовала дворец Амина, а он, в составе группы «Гром», захватывал штаб афганских ВВС. В Афганистан возвращался ещё дважды - в 1984 и в 1986. Выполнял специальные задания в составе десантно-штурмовых групп. За эти выходы был награждён вторым орденом Красной Звезды (первый получил в 1980).
Прошёл все «горячие точки» Советского Союза, а затем СНГ. Некоторое время работал на нелегальном положении - был внедрён в преступную группировку, торговавшую оружием.
Принимал участие в операциях "Альфы" в Будёновске, а затем в Первомайском. За эти операции был награждён орденом «За боевые заслуги».
10 декабря 1997 году лично задержал террориста, угрожавшего взорвать самолёт в аэропорту Шереметьево. Кадры с полковником, ведущим задержанного террориста по аэропорту, обошли всю страну.
Через 10 дней, 20 декабря 1997 года полковник в окружении коллег отмечал профессиональный праздник - День чекиста. В 20 часов поступил сигнал тревоги - захват заложников. Прямо с праздничного концерта Савельев выехал на место - улицу Мосфильмовскую в городе Москва.
Мужчина в маске, вооруженный пистолетом и гранатой, захватил шведского дипломата с женой прямо в его машине. Женщину потом отпустил для передачи своих требований: 3 миллиона долларов и самолёт. «Вольво» с заложником и террористом находилась во дворе посольства, и преступнику передали мобильный телефон для переговоров.
Переговоры вёл Савельев. Через несколько часов преступника удалось убедить обменять заложника на сотрудника спецслужб. Полковник пошёл в машину сам. Когда он сел на переднее сидение преступник накинул ему на шею петлю и зафиксировал петлю на подголовнике.
Переговоры продолжались. В этот момент все пошло не по плану. Савельев почувствовал боль в сердце. Его состояние стремительно ухудшалось. Это был сердечный приступ. Сердце 51 летнего ветерана, истрёпанное в не одном десятке спецопераций, не выдержало напряжения.
Когда террорист понял, что его не обманывают, он разрешил медикам подойти к машине, чтобы оказать помощь теряющему сознание заложнику. Даже помог врачам вытащить его из машины и уложить на землю.
В этот момент начался штурм. Сработал взрывпакет, открыли огонь снайперы, пошли в атаку бойцы спецназа. Террорист отстреливался, пытаясь укрыться за лежащим полковником. Ответными выстрелами штурмовой группы он был уничтожен. К сожалению в перестрелке зацепили и Савельева. Согласно официальным данным он был ранен в бедро. Через несколько часов офицер не приходя в сознание скончался в больнице. Что было причиной смерти ранение или сердечный приступ неизвестно. Кто отдал команду на штурм ФСБ тоже не сообщило.
Понимал ли Анатолий Савельев, что все может закончиться именно так? Скорее всего да, ведь он сделал главное - вытащил заложников, оказавшись при этом на линии огня между преступником и своими коллегами.
За личное мужество и героизм, проявленные в ходе боевой операции по обезвреживанию террориста, полковнику Савельеву Анатолию Николаевичу было посмертно присвоено звание Героя Российской Федерации посмертно.