Существуют оба эти слова, и написание зависит от смысла.
Слово вперемешку образовано от от перемешать.
А вперемежку — от перемежать (‘чередовать’).
На кровати одежда валялась вперемешку с книгами.
То есть одежда и книги были перемешаны и валялись хаотично.
Я читаю современных авторов вперемежку с классиками.
То есть я чередую современников и классиков, читаю их по очереди.
Таким образом,
вперемешку — смешанно, беспорядочно,
вперемежку — чередуясь в определенном порядке, попеременно.
