1,0×
00:00/06:30
Хаос не хаотичен: Фракталы, Аттракторы, Фрактал Мандельброта и Главный Секрет Порядка Вселенной
#Фрактал #Хаос #Аттрактор #Мандельброт
Поговорим с вами о красоте и упорядоченности хаоса. Да. Да. Именно упорядоченности хаоса. А заодно выясним как нарисовать целый лес деревьев и растений, используя всего пару правил. Теория хаоса, фракталы, аттракторы и главный секрет порядка в нашей части вселенной.
Фрактальные множества — сравнительно недавно открытые объекты. Черты фрактальных множеств несут в себе многие природные объекты: растения, облака, горные вершины, дельты рек, галактики. Да и сама вселенная фрактальна. Мы часто видим фракталы в обычной жизни и так привыкли к ним, что не обращаем внимание на них. Лист папоротника, каждое ответвление которого почти в точности повторяет весь лист.
Впервые множество Мандельброта было описано в 1905 году Пьером Фату (Pierre Fatou), французским математиком, работавшим в области аналитической динамики комплексных чисел. Но не пугайтесь этих формулировок. Сейчас немного разбавим повествование.
Так вот, Фату никогда не видел изображений, которые мы сейчас знаем как множества Мандельброта, потому что необходимое количество вычислений невозможно было провести вручную в те времена. Профессор Бенуа Мандельброт был первым, кто использовал для этого компьютер.
Фракталы были описаны Мандельбротом в 1975 году в его книге «Les Objets Fractals: Forme, Hasard et Dimension» («Фрактальные объекты: форма, случайность и размерность»). В этой книге Мандельброт впервые использовал термин «фрактал» для обозначения математического феномена, демонстрирующего столь непредсказуемое и удивительное поведение.
Это фигуры, у которых каждая малая часть под микроскопом не уступает в сложности целому и повторяет его.
На каждом шаге число возводится в квадрат и к нему добавляется константа. Начальное значение всегда (0, 0i), варьируется именно константа. Фрактал Мандельброта прост в построении.
После открытия Мандельброта наука открыла для себя хаос. Оказалось, что беспорядок тоже подчиняется строгим законам, которые противоречат нашей интуиции.
Если на круглую сковородку с кипящим маслом насыпать железные опилки, вовсе не очевидно, что на ней сами собой вырастут шестиугольные соты, а это рядовой эффект теории хаоса.
Фракталы — это видимый образ процессов, где за ничтожными событиями следуют чудовищные последствия.
Одна песчинка заставляет осыпаться гору песка, но эффект от двух песчинок будет ровно таким же — это и есть нелинейность. А перед осыпанием из песка складывается фрактальный узор (это говорили последователи Мандельброта — Бак, Тан и Визенфельд). По этому узору можно догадаться, что будет дальше. Заменяя песчинку на доллар, получим теорию финансового кризиса в версии Талеба. Этот один доллар, не заплаченный вовремя, вызывает цепную реакцию неплатежей и коллапс кредитной системы.
Программа на Python оформленная в виде фрактала, рисующая фрактал.
Сам Мандельброт признавался, что идея фрактала выросла из детского вопроса, которым он, рядовой сотрудник IBM, задался в 60-е: как узнать длину береговой линии Британии? Можно, конечно, взять карту и измерить границу лекалом. Но уже на спутниковом снимке видны изломы и мелкие бухты, которые карта не учитывает, — а если их учесть, цифра вырастет на сотни километров.
С высоты птичьего полета заметно, что в каждой бухте свои изломы и изгибы. С каждым приближением появляются новые детали, за счет которых результат все растет и растет.
Образцовые фракталы — это, к примеру, ель (у которой каждая ветвь повторяет в миниатюре все дерево), снежинка, сеть кровеносных сосудов, город со своими автодорогами. Мандельброт открыл то, что всегда было у всех на виду. В мире Мандельброта Земля больше не круглая. Его программный труд открывается манифестом:
«Облако не шар, гора не конус, береговая линия не окружность».
Рябь, неровности, изломы, трещины, пробки на дорогах и внезапные обвалы фондового рынка благодаря Мандельброту перестали считаться дефектом, досадной неприятностью, которая портит стройную картину мира. В них наконец признали движущую силу самого интересного из того, что происходит в атмосфере, толще океана, на улице или на бирже.
Дельта реки Лена
За 40 лет с момента открытия клякса с заусенцами незаметно превратилась в символ новой математики.
Нобелевские премии по физике и экономике обошли его стороной. Но фракталы и нелинейность проникли во все естественные науки разом: теория пригодилась в физике взрыва, химии биомолекул и медицине.
Поговорим с вами о красоте и упорядоченности хаоса. Да. Да. Именно упорядоченности хаоса. А заодно выясним как нарисовать целый лес деревьев и растений, используя всего пару правил. Теория хаоса, фракталы, аттракторы и главный секрет порядка в нашей части вселенной.
Фрактальные множества — сравнительно недавно открытые объекты. Черты фрактальных множеств несут в себе многие природные объекты: растения, облака, горные вершины, дельты рек, галактики. Да и сама вселенная фрактальна. Мы часто видим фракталы в обычной жизни и так привыкли к ним, что не обращаем внимание на них. Лист папоротника, каждое ответвление которого почти в точности повторяет весь лист.
Впервые множество Мандельброта было описано в 1905 году Пьером Фату (Pierre Fatou), французским математиком, работавшим в области аналитической динамики комплексных чисел. Но не пугайтесь этих формулировок. Сейчас немного разбавим повествование.
Так вот, Фату никогда не видел изображений, которые мы сейчас знаем как множества Мандельброта, потому что необходимое количество вычислений невозможно было провести вручную в те времена. Профессор Бенуа Мандельброт был первым, кто использовал для этого компьютер.
Фракталы были описаны Мандельбротом в 1975 году в его книге «Les Objets Fractals: Forme, Hasard et Dimension» («Фрактальные объекты: форма, случайность и размерность»). В этой книге Мандельброт впервые использовал термин «фрактал» для обозначения математического феномена, демонстрирующего столь непредсказуемое и удивительное поведение.
Это фигуры, у которых каждая малая часть под микроскопом не уступает в сложности целому и повторяет его.
На каждом шаге число возводится в квадрат и к нему добавляется константа. Начальное значение всегда (0, 0i), варьируется именно константа. Фрактал Мандельброта прост в построении.
После открытия Мандельброта наука открыла для себя хаос. Оказалось, что беспорядок тоже подчиняется строгим законам, которые противоречат нашей интуиции.
Если на круглую сковородку с кипящим маслом насыпать железные опилки, вовсе не очевидно, что на ней сами собой вырастут шестиугольные соты, а это рядовой эффект теории хаоса.
Фракталы — это видимый образ процессов, где за ничтожными событиями следуют чудовищные последствия.
Одна песчинка заставляет осыпаться гору песка, но эффект от двух песчинок будет ровно таким же — это и есть нелинейность. А перед осыпанием из песка складывается фрактальный узор (это говорили последователи Мандельброта — Бак, Тан и Визенфельд). По этому узору можно догадаться, что будет дальше. Заменяя песчинку на доллар, получим теорию финансового кризиса в версии Талеба. Этот один доллар, не заплаченный вовремя, вызывает цепную реакцию неплатежей и коллапс кредитной системы.
Программа на Python оформленная в виде фрактала, рисующая фрактал.
Сам Мандельброт признавался, что идея фрактала выросла из детского вопроса, которым он, рядовой сотрудник IBM, задался в 60-е: как узнать длину береговой линии Британии? Можно, конечно, взять карту и измерить границу лекалом. Но уже на спутниковом снимке видны изломы и мелкие бухты, которые карта не учитывает, — а если их учесть, цифра вырастет на сотни километров.
С высоты птичьего полета заметно, что в каждой бухте свои изломы и изгибы. С каждым приближением появляются новые детали, за счет которых результат все растет и растет.
Образцовые фракталы — это, к примеру, ель (у которой каждая ветвь повторяет в миниатюре все дерево), снежинка, сеть кровеносных сосудов, город со своими автодорогами. Мандельброт открыл то, что всегда было у всех на виду. В мире Мандельброта Земля больше не круглая. Его программный труд открывается манифестом:
«Облако не шар, гора не конус, береговая линия не окружность».
Рябь, неровности, изломы, трещины, пробки на дорогах и внезапные обвалы фондового рынка благодаря Мандельброту перестали считаться дефектом, досадной неприятностью, которая портит стройную картину мира. В них наконец признали движущую силу самого интересного из того, что происходит в атмосфере, толще океана, на улице или на бирже.
Дельта реки Лена
За 40 лет с момента открытия клякса с заусенцами незаметно превратилась в символ новой математики.
Нобелевские премии по физике и экономике обошли его стороной. Но фракталы и нелинейность проникли во все естественные науки разом: теория пригодилась в физике взрыва, химии биомолекул и медицине.
…