Около ОГЭ • Математика

Тех, кто занимается по учебникам геометрии для 9-го класса автора А.Г. Мерзляк, уже в скором времени ждёт контрольная. Последней задачей в этой контрольной вполне может оказаться наш экземпляр, это задание из дидактики к учебнику. Далее условие и несколько подсказок «для сомневающихся», если Вы не такие, то не читайте их 🤷‍♂️ Условие Найдите диагональ AD правильного восьмиугольника ABCDEFKP, если AB = a. Подсказки Вообще решений хватает, двух будет предостаточно, думаю...

Новый учебный год уже вовсю идёт, восьмиклассники уже прошли четырёхугольники, параллелограммы и даже трапецию (возможно) успели. Поэтому задача по теме. Сразу оговорим, что предположения, гипотезы и всякие «допустим угол C равен 70°» — неприемлемы. Только решения подкреплённые (желательно) рисунком. Условие В четырёхугольнике ABCD стороны AB, BC и CD — равны. Угол BAD = 110°, а угол ADC = 50°. Найдите угол BCD. Подсказка Читать подсказку совсем не обязательно, даже нежелательно. Но для тех, кто не смог придумать своего решения – вот намёк на одно из возможных...

Да, можно опустить высоту. Да, можно по теореме Пифагора. Но! Посчитайте количество действий… Ну и не придумать бы что-то свежее? Конечно, такой универсальный способ — «манит», понимаю, всё равно пару таких решений в комментариях жду. Ещё варианты, надеюсь, тоже будут! Хорошо, если несколько. Но а пока условие, а там и подсказки (если они кому необходимы). Условие Найдите гипотенузу прямоугольного треугольника с острым углом, равным 30°, если известно, что биссектриса, проведенная из вершины прямого угла, равна а...

Ну или не совсем простая, но способов решений будет много. Ну и рисунок-подсказка должен натолкнуть на «продолжение»… Ну или запутать. Задача в продолжение темы «метрическое соотношение сторон в треугольнике», поэтому стоит этот раз решить как раз схожим (с предыдущими задачами) способом. Но как сказано выше — способов тут не мало я перечислю несколько в подсказках, а Вы попробуйте найти свой. Условие Две стороны треугольника равны 2√2 и 3, площадь треугольника равна 3. Найдите третью сторону. Подсказки Начнём с оптимального (по теме прошлых задач) варианта решения — теорема косинусов...

Для любителей буквенных решений — ни одной цифры, только буквы. Ну или «Учимся выводить формулы». А формула тут выведется в любом случае, если решение будет верным – оно будет формулой нахождения площади по двум углам и стороне. Условие Найдите площадь треугольника АBС, если известно, что АВ = а, ∠А = α , ∠В = β. Подсказка Площадь можно найти как минимум пятью способами (формулами), часть из которых мы узнаём в 8-ом, а часть в 9-ом классе...

Где-то я уже видел недавно что-то похожее и по названию, и по рисунку... Да, там была медиана. Тут мы имеем дело с «биссектрисой-крысой» Как же найти биссектрису по трём сторонам? Также ли это просто, как было с медианой? Есть ли простая формула? Или может сложная формула? Обо всём по–порядку, но сперва условие. Условие Найдите биссектрису AD треугольника АBC со сторонами BC = 18, АС = 15, AB = 12. Как найти биссектрису по трём сторонам Способ очень схожий с тем, что мы делали раньше, а именно теорема косинусов, но сперва свойство биссектрисы (свойство биссектрисы – это не «угол пополам»)...

Если дочитали прошлую заметку, то точно умеете (в одно действие) и откуда она выводится тоже знаете. Так вот Вам и проверка — найти медиану по трём известным сторонам. По формуле искать совсем не обязательно, можно и своим способом. Ниже условие — очень короткое, понятное и простое. Условие Стороны треугольника равны 11, 13 и 12...

Отличный повод вывести полезную (но очень редко) формулу и может даже две. Речь пойдет опять о метрическом соотношении сторон в треугольнике (9-й класс), а именно связь между сторонами и медианами и в качестве бонуса выведем формулу нахождения стороны по двум другим и медиане, а ещё — формулу нахождения медианы по трём сторонам. Условие В треугольнике две стороны равны 11 и 23, а медиана, проведенная к третьей, равна 10. Найдите третью сторону. Подсказка Как и в последних нескольких задачах, подсказка будет — теорема косинусов...

Надеюсь, что да. И дело тут совсем не в решении (хотя и в нём тоже), а скорее в условии. Что это? Как это? Откуда это? И как справиться с этим «шестиклашке»? Условия переписывать не будем, оно с рисунком, возьмём его целиком. Попробуйте засечь время, а лучше дайте решить её школьнику и засеките его время. Поехали! Первое Без рисунка задачу не решить, так как там продолжение условия, а именно: Две полные бутылки и 1,5 кг на гирях весят столько же, сколько одна пустая бутылка и 3 кг. Отсюда простой вывод: разница между бутылками слева и справа — в 1,5 кг...

А при чём тут теорема Пифагора спросите Вы? Не спросите? Ну хорошо. Да и не нужна она здесь совсем. Хотя, теорему которую будем использовать легко доказать через «Пифагора». Условие Стороны параллелограмма равны 2 и 4, а угол между ними равен 60°. Через вершину этого угла проведены прямые, проходящие через середины двух других сторон па раллелограмма. Найдите косинус угла между этими прямыми. Подсказка Там, где надо искать косинус угла, вспоминаем про прямоугольный треугольник и отношение сторон в нём или про теорему косинусов (реже синусов)...

Какое решение считать оптимальным? Думаю, что самое короткое. Но у некоторых из Вас краткость зашкаливает, а у других не совсем общеизвестные (слово «программа» употреблять не будем) теоремы. Тут оказалось, что подсказки не всем «по душе», поэтому в конце будет простой опрос (один вопрос), который можно пройти. Условие В прямоугольном треугольнике ABC катет АС = 15 и катет ВС = 20. На гипотенузе АВ отложен отрезок AD, равный 4. Найдите CD. Подсказки Для чего тут подсказки, а вернее — для кого...

Рассмотрим ещё одну задачу по темам 9–го класса, а именно метрические соотношения сторон в треугольнике. Эта не самая популярная тема объединяет в себе несколько более известных: теоремы косинусов и синусов. Для некоторых это начало 9–го класса (по уч. Мерзляк и др.), а для некоторых — середина (по уч. Атанасян и др.). Доказательство обоих теорем было в предыдущих заметках, а теперь задачи. Полное условие, подсказка и заключение дальше 👇👇👇 Условие В равнобедренном прямоугольном треугольнике ABC на продолжении гипотенузы АВ за точку В отложен отрезок BD, равный BС...