Задача: Хорда AB разбивает круг на два сегмента. В один из них вписали произвольную окружность. Докажите, что длина касательной к этой окружности, проведённой из середины дуги другого сегмента, не зависит от  выбора вписанной в сегмент окружности. ©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич. Решение: Для решения данной задачи нам потребуется знания о лемме Архимеда, поэтому поделим решение данной задачи на 2 части: знакомство с леммой и её доказательство, и решение задачи с помощью данной леммы...

Маленький математический этюд Эту задачку я придумал для старших внуков. Оказалось, еще рано. Площади они ещё не знают. Поэтому решил выложить здесь. Задача Дана трапеция ABCD, BC || AD. Как одной прямой рассечь ее на две равновеликие [= одинаковой площади] части? Ответ интуитивно очевиден. Пусть K — середина отрезка AD, L — середина BC. Но тогда требуется Доказательство! Возможны варианты. Первое доказательство очень простое и совершенно скучное. Я даже рассказывать его не хочу. Оно пригодно только в этой конкретной ситуации...