Мы уже обсуждали комплексную плоскость, которая естественным образом получается расширением числового поля, чтобы все операции были выполнимы. Теперь посмотрим на функции --- там сплошные чудеса. Начнем с простого факта. Комплексные числа a+bi представляются матрицами вида Легко проверить, что обычное сложение и умножение матриц соответствует сложению и умножению комплексных чисел --- а все остальное выводится. Умножение матриц обычно некоммутативно --- результат зависит от порядка сомножителей --- но не в этом случае...

Преобразование Лапласа для функции f(t) определяется как: F(s) = \mathcal{L}{f(t)} = \int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t) dt, где s — комплексная переменная. В нашем случае f(t) = u(t) = αt. Подставляя это в формулу преобразования Лапласа, получаем: U(s) = \mathcal{L}{αt} = α \cdot \int_{0}^{\infty} e^{-st} t dt. Теперь нужно вычислить этот интеграл. Для этого можно использовать метод интегрирования по частям: Пусть u = t$, тогда du = dt и dv = e^{-st} dt, тогда v = -\frac{1}{s}e^{-st}. Тогда интеграл...