С именем Николая Федоровича Четверухина опосредованно знакомо множество людей - практически все, кто в школе и в институте строили проекции, определяли точки пересечения, делали развертку цилиндров и призм. По его учебникам училось несколько поколений студентов-математиков. Он разрабатывал программы по геометрии для педагогических вузов, писал руководства по методике преподавания геометрии и развитию пространственного мышления.
Один из основателей школы начертательной и графической геометрии в нашей стране, Николай Четверухин (5 ноября 1891 – 7 марта 1974) похоронен на 6-м участке Кузьминского кладбища. На памятнике надпись: "Заслуженный деятель науки Академии педагогических наук, академик".
Гимназия на Страстной
В том, что из нескольких сфер, которые вызывали интерес - музыка, медицина, математика -- ученик Ярославской мужской классической гимназии Коля Четверухин выбрал именно математику - прямая заслуга его гимназического учителя Н. И. Ключарева. Тот преподавал свой предмет с увлечением, старался подобрать задачи поинтересней, к каждому ученику находил индивидуальный подход.
Медики в семье Четверухиных уже были. Отец, Федор Александрович, служил военным врачом в Ярославской губернии, где жила семья до переезда в Москву.
Музыкой можно было заниматься и без специального образования, что Николай Федорович и делал всю жизнь. В его домашнем кабинете висели портреты композиторов, стояло фортепьяно – он нередко отрывался от формул и чертежей, чтобы исполнить ноктюрн Шопена или песню Шумана.
А профессиональным его занятием стала математика. Со школьных лет он вел толстую тетрадь, на обложке которой было написано «Математический журнал». Сюда заносились мысли, найденные решения, трудные вопросы, задачи, которые требовали дополнительного обдумывания. Впоследствии некоторые заметки из этой тетради стали темами научных докладов и статей..
В 1906 году семья Четверухиных переехала в Москву. Поселились в Филипповском переулке, вблизи Арбата. Николай продолжил обучение в московской гимназию № 7. Это двухэтажное здание с высокими арочными окнами и нарядным фронтоном стояло на Страстной площади (ныне Пушкинская), на месте нынешнего комплекса «Известий».
Аксонометрия у доски
В 1910 году Николай Четверухин окончил гимназию с серебряной медалью и поступил на физико-математический факультет Московского университета.
Больше всего ему нравились лекции по геометрии. Их читал, постукивая мелом по доске, профессор Алексей Константинович Власов. Спустя несколько лет, Четверухин - уже выпускник, будет приглашен на кафедру для подготовки к получению звания профессора - и станет ассистентом Власова.
Ну, а начертательную геометрию в гимназии читал Николай Иванович Мерцалов. Вызывало восхищение, когда он, стоя у доски, держал в левой руке какую-нибудь сложную деталь, а правой - быстро и легко строил строил ее аксонометрическое – трехмерное - изображение.
Реальное училище им. Анатолия Шелапутина
В 1915 году Четверухин окончил университет с дипломом первой степени. Первым местом работы (на протяжении жизни их будет у него множество) стало 3-е Московское реального училище имени Анатолия Шелапутина в Хамовниках, в Трубецком переулке (сегодня это Хользунов переулок, 16, здание Генштаба). Он преподавал математику в старших классах.
Уроками и проверкой тетрадок 25-летний педагог не ограничивался. С университетской скамьи он занимался наукой. 20 января 1917 года на заседании Московского математического кружка Четверухин выступил с докладом «Способ конструктивных алгоритмов и Делийская задача». ( Сейчас общепринят другой вариант названия - Делосская).
Делосский куб
Смысл Делийской (Делосской) задачи - про удвоение куба - состоит в том чтобы построить ребро куба, объем которого вдвое больше объема исходного куба.
По легенде в Древней Греции, на острове Делос свирепствовала чума. Дельфийский оракул сообщил, что это – кара богов за прегрешения. Надо умилостивить богов - удвоить количество жертв, которые им приносятся. Жертвенные предметы, плоды и животных – быков, коров, коз, овец, поросят, домашнюю птицу – клали в жертвенник кубической формы. Увеличение объема жертвований потребовало расширения емкости, куда все это складывалось.
Невозможно - что и требовалось доказать
Жители Делоса сделали второй куб, поставили рядом с первым и стали приносить в жертву в два раза больше животных. Но чума не прекратилась. Оракул пояснил, что два куба - это не то, что нужно. Куб должен быть один, но в два раза большего объема.
Задача оказалась нерешаемой. Математики бились над ней, начиная с античности, больше двух десятков веков. Построить ребро такого куба - численно равное кубическому корню из 2 – ∛2 - с помощью линейки и циркуля - невозможно. Это доказал в 1837 году французский математик Пьер Ванцель.
И вот без малого 80 лет спустя молодой московский учитель, совершавший каждый день свой путь с Арбата на Девичье поле, берется за разрешение неразрешимого.
Но - другим способом.
«Никаких других иррациональностей, кроме квадратных корней»
«В теории геометрических построений известно, что не всякая задача на построение может быть разрешена при посредстве циркуля и линейки, - сказано в статье Николая Четверухина, опубликованной в журнале «Математическое образование» № 5-8 за 1917 год. - Именно этим инструментам доступны лишь те задачи, в которых неизвестное представляет собою такое выражение данных, которое не содержит никаких других иррациональностей, кроме квадратных корней. Если мы хотим, чтобы построение состояло из конечного числа операций, то и в искомом выражении их должно быть конечное число. Существует целая область задач, неудовлетворяющих этому требованию. По отношению к этим задачам исследование может вестись в двух направлениях».
«Приближенные решения практически равноценны точным»
Первое направление - поиск точного решения с помощью «более сильных средств» - Четвертухина не интересует, поскольку уже разработано и достигло успехов.
А вот второе – получение приближенных решений при посредничестве старых добрых циркуля и линейки – то, чем он намерен заняться.
Оговорившись, что чертежные ошибки при тщательном исполнении чертежей минимальны, он делает вывод, что приближенные решения практически равноценны точным построениям. Да, это не решение, а «лишь некое построение, заменяющее решение». Однако «в этом случае какая-нибудь задача на построение высшей степени имеет решение, состоящее из бесконечного числа операций, произведенных циркулем и линейкой, аналогично тому, как какая-нибудь трансцендентная функция выражается бесконечным числом алгебраических операций».
«Ввиду известных новых неблагоприятных условий…»
И дело не только в конструктивных алгоритмах - так называют алгоритмы, которые постепенно, шаг за шагом, выстраивают допустимое решение задачи, добавляя детали, отдельные элементы и частности, но и а в том, когда именно это происходило.
Вот предуведомление, которым открывается – нет, даже не строенный - собранный из четырех (опять четыре!) номер № 45-48 журнала под шапкой которого стоит : сентябрь – декабрь 1917.
«Ввиду известных новых неблагоприятных условий в настоящее время в России для периодической печати, в частности, крайнего вздорожания бумаги и типографских работ Московский математический кружок вынужден с настоящего номера 5/8 приостановить издание журнала «Математическое образование» до более благоприятного времени. Извещая о вышеизложенном гг. подписчиков, редакция приносит им извинения за невольную неаккуратность… Вместе с тем , редакция питает надежду, что с возобновлением нормальных условий она сможет вновь продолжать работу на пользу математического образования и просвещения в России».
Нарасхват
Тогда же, в конце 1917-го, училище будет преобразовано в показательную школу Наркомпроса. Часть учителей ушла. Николай Федорович остался.
Но в начале следующего года он получает письмо из Иваново-Вознесенска - с предложением приехать и организовать преподавание математики в Иваново-Вознесенском института народного образования.
Вскоре спохватилась и альма-матер: механическое отделение физико-математического факультета МГУ пригласило недавнего выпускника читать курс начертательной геометрии на механическом отделении и вести занятия по аналитической и дифференциальной геометрии. Одновременно он ассистирует своему учителю - профессору Алексею Константиновичу Власову, который ведет новый предмет- «Геометрические основы изобразительного искусства».
Параллельно Четвертухин работает в Московском институте инженеров транспорта на кафедре профессора Сергея Павловича Финикова.
Еще одно совместительство - Московский лесотехнический институт, кафедра механики, которую возглавляет академик Сергей Алексеевич Чаплыгин.
В 1929 году Четверухину присуждается степень кандидата физико-математических наук. Он получает звание профессора и возглавляет кафедру высшей математики и геометрии физико-математического факультета Московского педагогического института им. В.П. Потемкина
В 1931-м он Н.Ф. Четверухину было присвоено звание профессора Московского университета.
Пространственное воображение
Как он все успевал? И почему его все звали? Видно, и в самом деле, геометрия как учебный предмет была очень востребована.
«Хорошее пространственное воображение нужно конструктору, создающему новые машины, геологу, разведывающему недра земли, архитектору, сооружающему здания современных городов, хирургу, производящему тончайшие операции среди кровеносных сосудов и нервных волокон, скульптору, художнику и т.д.»,- писал Николай Федорович в 1965 году в статье «Геометрические характеристики причины трудности узнавания геометрических фигур на чертеже» (Математика в школе. – 1965. – № 4), и это были для него не общие слова.
Немного поэт, немного художник
«Нельзя быть настоящим математиком, не будучи немного поэтом» - эти слова немецкого математика, основоположника современного математического анализа Карла Теодора Вильгельма Вейерштрассе предпосланы статье, подготовленной сотрудниками Московского авиационного института, где Николай Федорович Четверухин проработал более четверти в века - с середины 1940-х до конца жизни.
О том, что крупный ученый, основатель отечественной школы графической геометрии, методист, академик Академии педагогических наук РСФСР, был еще и художником свидетельствуют, рисунки в его книгах.
Формула листа
А теоретическое подтверждение этого содержится в статье «Геометрические формы органического мира» (журнал «Математическое образование», 1930 год, № 5). В основе статьи - доклад - сделанный в научной секции Московского научно-педагогического математического кружка.
Начав с лирики - «в живописном разнообразии форм окружающей природы многие отдельные представители ее привлекают наше внимание своей удивительной правильностью и геометрической законченностью - вспомним только о строении снежинки и других кристаллов!» - автор напоминает, что в основе математического метода изучения природы лежит принцип симметрии, и переходит к методам аналитического изображения ( с помощью уравнений) различных объектов органического мира (листьев, плодов, надкрыльев насекомых).
Далее - в соответствии с формой листьев и плодов растений и надкрыльев жука он выводит уравнения листа кислицы, крапивы, конского каштана, трилистника, а также целого яблока и надкрыльев божьей коровки.
Четверухин напоминает, что контур листа в полярной системе координат можно рассматривать как замкнутую кривую с кратким уравнением
А затем начинает подбирать значения косинусов и выводит уравнения трех- и четырехлепестковых кривых, которые позволяют получить контуры листьев некоторых растений.
Время уподобления и время различий
Каждая из этих формул и каждый из этих чертежей важны не сами по себе - для описания объектов природы, этим занимались и занимаются ботаники, энтомологи, а также морфологи и систематизаторы. А для того, чтобы вывести – или подтвердить общие математические закономерности.
В частности, на основе сравнения контура надкрыльев божьих коровок Semiadalila notana, выявилась следующая закономерность: в группах небольшой численности изменение каких-либо характеристик (тот самый контур надкрыльв) ярко выражено, расхождения увеличиваются, практически все контуры немного разные, а в пределах больших групп изменения идут, наоборот, по пути сближения, все контуры как бы стремятся уподобиться один другому.
"Следует приписать действию Солнца"
Четверухин сравнивает уравнение контура донника трилистного с уравнением листа кислицы и цитирует слова немецкого математика Habenicht ( это имя тоже немалого стоит, прямо-таки иметь или не иметь), который "остроумно замечает, что различие выражаемое членом
надо приписать действию Солнца, так как кислица растет в тени, а донник на солнце».
Ну как тут не вспомнить вышедший в годы юности Николая Четверухина «Кипарисовый ларец» - сборник «Трилистников" Иннокентия Анненского (1908). А также - более близкие по времени - математические, если можно так сказать, стихотворения, написанные тезками - Николаем Олейниковым и Николаем Заболоцким в 1935-1937 гг.
«Четырехгранный красный стебель мяты…
У Николая Олейникова - во фрагментах, подборка которых так и называется - "Я числа переношу с места на место" (1935 -1937) геометрический акцент перенесен на актуализирующееся в данном случае число четыре.
***
Четырехгранный красный стебель мяты
И пятизубчатый цветок ее
В колосья собранный...
***
Плодов и веток нумерация,
Когда рассыплет лист акация,
Плодов места определив,
Места для птиц, места для слив,
Отметит мелкие подробности,
Неуловимые для глаза,
Стволы и лист разбив на области
Четыре раза.
Изометрия как предчувствие
Для Николая Заболоцкого - стихотворение "Цветок" 1936 года можно считать провидческим. По обвинению в участии в антисоветской троцкистско-правой организации его арестуют только через два года, в 1938-м, а стать чертежником в проектном отделе строительства, ему удастся лишь после нескольких лет работы на дроблении камня в карьере и валке леса.
Тем знаменательнее это предвидение - практически чертеж - с симметрий, аксонометрическими линиями, изометрией.
И тогда я открыл свою книгу в большом переплете,
Где на первой странице растения виден чертеж.
И черна и мертва, протянулась от книги к природе
То ли правда цветка, то ли в нем заключенная ложь.
И цветок с удивленьем смотрел на свое отраженье
И как будто пытался чужую премудрость понять.
Трепетало в листах непривычное мысли движенье,
То усилие воли, которое не передать.
Профессор
Итак, поэт, ученый, педагог, методист. Была у Четверухина еще одна ипостась, точнее, вид общественной деятельности. С 1928 года он является ученым секретарем Московского математического кружка. В журнале «Математическое образование» регулярно появляются объявления о заседаниях, отчеты о работе, а также анонсы конференций и сборников - с приглашением присылать тезисы и статьи докладов. Благодаря этому мы знаем его адрес того времени - Филипповский переулок, дом 12, кв. 4.
Орден за работу с учительством
В 1936 году по инициативе Четверухина в Московском институте инженеров связи, где он заведовал кафедрой начертательной геометрии и инженерной графики, начинает действовать постоянный семинар для преподавателей вузов и школ. Свой первый орден - Трудового Красного Знамени) он получил «За работу с учительством по средней школе»,
В 1941 году Четверухин перешел на работу в МАИ. Докторскую диссертацию он, давно уже профессор, защитил во время войны, в 1943 году, в Алма-Ате. Она была посвящена теории условных изображений и обобщала опыт параметрического исчисления изображений.
Вернувшись из эвакуации, некоторое время работал по совместительству на художественно-графическом факультете Московского городского педагогического института им. В.П. Потемкина.
На основном месте работы, в МАИ, в 1948 году он возглавил завкафедрой прикладной геометрии.
Второй орден - Красной Звезды –был вручен Николаю Федоровичу «За подготовку авиационных кадров в период войны».
В 1945 году он был избран членом-корреспондентом Академии педагогических наук, а затем и действительным членом этой Академии.
Без лишних слов
О том, как относились к нему ученики – и студенты, и взрослые – аспиранты и слушатели курсов повышения квалификации – свидетельствует шутливое стихотворение, преподнесенное ему слушателями одного из потоков в приветственном адресе:
На ФПК МАИ привычно,
Научно, четко, методично
Вы курс читаете «Основ...».
Спасибо Вам без лишних слов!