Задача.
В коробке 3 синих, 5 зелёных и 7 красных шаров. Одновременно вынимают два шара. Найдите вероятность того, что выбранные оба шара одного цвета.
Способ 1: Через число сочетаний (подсчёт исходов).
Идея: считаем отношение количества благоприятных исходов к общему количеству исходов.
Общее число шаров: 3+5+7=15. Число способов выбрать любые 2 шара:
C₁₅²=(15·14)/2=105.
Теперь посчитаем благоприятные исходы (два шара одного цвета):
C₃²+C₅²+C₇²=3+10+21=34.
Значит, по классическому определению вероятности:
P=(благоприятные исходы)/(все возможные исходы)=34/105.
Способ 2: Через классическое определение вероятности (поэтапно).
Рассуждаем по шагам: выбираем первый шар, затем второй из оставшихся 14. Чтобы получить два шара одного цвета, возможны три несовместных события.
P(оба синие)=(3/15)·(2/14)=6/210,
P(оба зелёные)=(5/15)·(4/14)=20/210,
P(оба красные)=(7/15)·(6/14)=42/210.
Так как эти случаи не пересекаются, складываем вероятности:
P=(6+20+42)/210=68/210=34/105.
Способ 3: Через вероятность противоположного события.
Берём событие наоборот: «шары разных цветов». Его считать удобно. Число пар разных цветов:
(синий, зелёный)+(синий, красный)+(зелёный, красный)=
=3·5+3·7+5·7=15+21+35=71.
Всего пар по-прежнему 105, поэтому
P(разные)=71/105.
Тогда искомая вероятность равна дополнению до единицы:
P(одного цвета)=1−71/105=34/105.
Ответ: 34/105.