В физике часто надо составить дифференциальные уравнения. В механике нужно найти функцию координаты x=x(t), а в электродинамике функцию заряда q=q(t). Несмотря на то, что механика и электродинамика рассматривают различные явления, часто возникают гармонические колебания. Это те колебания, которые изменяются периодически.
1) Рассмотрим наиболее полную картину колебаний грузика на пружинном маятнике. Маятник расположим горизонтально, а ось Ox вдоль движения грузика, который колеблется из положения равновесия.
На него действуют три силы: упругости, трения и внешняя. Внешняя сила характеризует вид колебаний - вынужденные. Существуют свободные колебания, которые выводят тело из состояния равновесия благодаря начальным запасам энергии. Сила трения говорит о том, что это затухающие колебания. В конце концов колебания затухнут, хотя в зависимости от внешней силы она может компенсировать трение.
Запишем второй закон Ньютона в векторной форме.
ma=Fупр+Fтр+Fвн. Теперь спроецируем вектора на ось Ox, сразу указав, что Fтр=-ru, где r-коэф трения, а u=u(t)-скорость. Для внешней силы можно взять любое выражение, которое зависит от времени, например, Fвн=F0coswt, где w-частота колебаний силы F0.
ma=-kx-ru+F0coswt. Перенесем отрицательные компоненты и поделим на m.
a+(r/m)×u+(k/m)×x=(F0/m)×coswt.
Введем стандартные обозначения для подобного вида диф. уравнения:
r/m=2B-новый коэф. трения, k/m=w0²-собственная частота колебаний.
Осталось переписать ускорение и скорость через производную по определению.
u(t)=dx/dt, a(t)=du/dt. Подставим в du в ускорении значение скорости.
a(t)=d(dx/dt)/dt=d²x/dt². Запишем нашем диф уравнение.
d²x/dt²+2B×dx/dt+w0²x=(F0/m)×coswt.
Его решение зависит от начальный условий. Можно регулировать и в целом физические условия. Например, уберем трение и внешнюю силу, тогда получаем обычное уравнение гармонических колебаний.
d²x/dt²+w0²x=0.
Его решением будет x(t)=Acos(w0t-ф0), где ф0-начальный угол поворота.
Используя замену, можно вывести период пружинного маятника по формуле T=2pi/w0=2pi×sqrt(m/k)
2) Колебательный контур.
В электротехнике используется замкнутый контур, состоящий из трех компонентов: катушка(L), резистор(R) и конденсатор(C). В этой сети происходят электромагнитные колебаний, которые тоже изменяются аналогично механическим колебаниям. Докажем это.
Второй закон Кирхгофа гласит, что в замкнутом контуре сумма напряжений равна нулю. Главное учесть, что ЭДС и напряжение хоть и считаются в вольтах, но разнонаправленные величины. То есть уравнение выглядит так
U(L)+U(R)+U(C)=E(t), где E(t)-ЭДС цепи. ЭДС сразу перенесли, чтоб избавиться от минуса. ЭДС здесь выступает как внешняя сила в механике.
Осталось расписать напряжение через производную. Однако надо постараться.
Найдем напряжение катушки. Известно, что изменение тока в катушке вызывает ЭДС в этом же проводнике. По тому же второму закону Кирхгофа можно определить, что U(L)=ЭДС [нет других проводников. Сумма напряжения катушки и ЭДС равна нулю).
Это ЭДС можно найти по закону Фарадея-Максвелла E(t)=-dФ/dt, где Ф-магнитный поток. В контуре магнитный поток можно найти как Ф=L×I, где I - сила тока катушки, а L - постоянный коэффициент индуктивности. Подставим в формулу E(t)=-dLI/dt=-L×dI/dt. То есть U(L)=L×dI/dt.
Для удобства надо выразить силу тока через заряд. Известно, что I=dq/dt. То есть U(L)=L×d(dq/dt)dt=L×d²q/dt.
Для резистора можно найти напряжение по закону Ома: U(R)=IR=R×dq/dt.
Для конденсатора U(C)=q/C. Везде выразили через заряд.
Пусть ЭДС цепи тоже изменяется по косинусу E(t)=E0coswt, тогда наше диф уравнение
L×d²q/dt²+R×dq/dt+q/C=(E0/L)coswt.
Поделим на L и сделаем замену R/L=2B, 1/LC=w0².
d²q/dt²+2B×dq/dt+qw0²=(E0/L)coswt.
Теперь видно, что сопротивление здесь как сила трения, а ЭДС действительно внешняя сила. Если убрать эти две силы, то получится стандартное диф уравнение гармонических колебаний.
d²q/dt²+w0²q=0.
Решение будет вида q(t)=q(max)(cosw0t-ф0), где q(max)=A - амплитуда колебаний.
Из замены можно вывести формулу Томпсона T=2pi/w0=2pi×sqrt1/LC.