Рассмотрим решение геометрической задачи, которая на канале Валерия Казакова решена традиционно не «по-детски». Задача дана под заголовком «Задача «на отлично». 8 кл. Решить без тригонометрии». Итак, задача.
1. В остроугольном треугольнике ABC угол A в два раза больше угла C. Найдите AC, если AB = 8, BC = 12.
Заключительный кадр решения выглядит так.
Источник. Задача «на отлично». 8 кл. Решить без тригонометрии | Дзен https://dzen.ru/video/watch/68297c94407fd738f6d9adac
Валерий Казаков показал, как эту задачу можно решить без тригонометрии, но решение сильно упростится, если применить подобие треугольников и свойство биссектрисы. Теорема Пифагора, площадь треугольника и квадратные корни не потребуются. И чертёж будет попроще.
Решение. На стороне BC отметим точку D так, чтобы AD = CD. Обозначим их длины y. BD = 12 – y. В треугольнике ADC есть два равных угла A и С. Обозначим AC = x.
Так как угол BAC в два раза больше угла BCA и углы DAС и DCA равны, то внешний угол ADB треугольника ADC в два раза больше угла C, а значит, он равен углу BAC.
Треугольники ABC и DBA подобны по двум углам, так как в них угол B общий, а углы BAD и BCA равны. Составим пропорцию: AC : AD = BC : AB,
x : y = 12 : 8,
y = 2x/3.
Так как AD— биссектриса угла A, то по свойству биссектрисы угла треугольника имеем:
AC : AB = DC : BD,
x : 8 = y : (12 – y).
Подставив вместо y в полученное равенство 2x/3, получим
x : 8 = 2x/3 : (12 – 2x/3).
Решив это уравнение, получим x = 10.
Итак, AC = 10.
Ответ. 10.