Формулировка
Я думаю, что каждый хотя бы по названию знает теорему Пифагора ещё со школы, но не каждый знает какие бывают вариации его доказательства, а самое главное - какое из них самое лёгкое. Давайте начнём с самого простого, а именно с формулировки: в прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равняется квадрату гипотенузы. Катеты в данном случае - это стороны, которые прилежат к прямому углу, а гипотенуза - сторона, которая, наоборот, лежит напротив прямого угла.
Топ 5 доказательств
5. Пожалуй, самое сложное доказательство из этой пятёрки - это доказательство Евклида.
Оно заключается в установлении конгруэнтности (проще говоря равенства, а если интересно подробнее, то вот ссылка на Википедию с определением конгруэнтности)△FCB и △ABD (см. рис. 1).
Первым действием мы доказываем, что △ABD = △FBC:
Рассмотрим △ABD и △FBC:
1) BC = BD (т.к. BCED - квадрат)
2) FB = AB (т.к. FBAH - квадрат)
3) ∠DBA = 90° + ∠ABC = ∠FBC
И из этого всего следует, что △ABD = △FBC (по 2 сторонам и ∠ между ними).
Вторым действием мы докажем, что S△abd = ½S byld (площадь △ABD = площади четырёхуг-ка BYLD):
Так как BD - это общее основание, а LD - это общая высота, то S△abd = ½ BD • LD, а S byld = BD • LD => S△abd = ½S byld.
Аналогично доказывается, что S△FBC = ½ S abfy.
Т.к. △ABD = △FBC, то S abfh = S byld.
Аналогично всем предыдущим действиям можно доказать, что S ackg = S ycel.
И из последних 2 действий следует, что AB² + AC² = S byld + S ycel = S bced = BC² <=> AB² + AC² = BC² (что и требовалось доказать).
Как видим, доказательство было довольно сложным и долгим, поэтому оно и находится на 5 месте.
4. Более лёгкое доказательство, основывающееся лишь на симметрии - доказательство Да Винчи (см. рис. 2).
- Главные элементы доказательства движение - симметрия и движение.
- Рассмотрим чертёж, как видно из симметрии, отрезок CI рассекает квадрат ABHJ на две одинаковые части (так как треугольники ABС и JHI равны по построению).
- Пользуясь поворотом на 90 градусов против часовой стрелки вокруг точки А, мы усматриваем равенство заштрихованных фигур CAJI и DABG.
- Теперь ясно, что площадь заштрихованной нами фигуры равна сумме половин площадей маленьких квадратов (построенных на катетах) и площади исходного треугольника. С другой стороны, она равна половине площади большого квадрата (построенного на гипотенузе) плюс площадь исходного треугольника. Таким образом, половина суммы площадей маленьких квадратов равна половине площади большого квадрата, а следовательно сумма площадей квадратов, построенных на катетах равна площади квадрата, построенного на гипотенузе.
3. Доказательство через площади подобных треугольников.
Думаю, что это доказательство уже довольно лёгкое (см. рис. 3), но не настолько, как оба следующих.
По свойству высоты, проведённой к гипотенузе, все треугольники, которые при этом образуются будут подобны между собой: в данном случае △AHC ~△CHB ~△ABC.
Получается, что коэффициент подобия у треугольников AHC и ABC равен отношению b/c, а у треугольников CHB и ABC - a/c.
По свойству подобия площадей: отношение площадей подобных треугольников равняется квадрату коэффициента подобия. Значит S△ahc/S△abc = b²/c², а также S△chb/S△abc = a²/c².
Если сложить между собой два эти равенства, то мы выясним, что:
Из данного равенства видно, что S ahc + S chb = S abc, а значит вся левая часть равенства равна 1.
Что и требовалось доказать.
2. Доказательство через подобные треугольники.
Для доказательства этой теоремы я буду использовать точно такой же чертёж, что и для предыдущего доказательства. Приступим.
Первое действие тут тоже самое, что и в предыдущем доказательстве: использование свойства высоты, проведённой к гипотенузе. Опять приходим к тому, что все треугольники подобны между собой.
△CHB ~△ABC => a/c = BH/a | • ac
a² = BH • c
△AHC ~△ABC => b/c = AH/b | • bc
b² = AH • c
Теперь сложим два получившихся уравнения:
a² + b² = c • (AH + BH)
AH + BH = c => a² + b² = c²
Что и требовалось доказать.
1. Доказательство через равнодополняемость.
Ну и наконец-то самое легкое доказательство (см. рис. 4). Сразу приступим.
Здесь, как видим, четыре прямоугольных треугольника поставили так, чтобы получился квадрат со стороной (a + b).
Первым действием найдём площадь большого квадрата: (a + b)² = a² + 2ab + b²
Затем найдем через площадь большого квадрата и площади четырёх треугольников площадь внутреннего квадрата со стороной c:
a² + 2ab + b² = 4 • (½ • a • b) + c²
a² + 2ab + b² = 2ab + c² | - 2ab
a² + b² = c²
Что и требовалось доказать.
Вывод
Сложно сказать какое доказательство легче: то, что на 2 месте, или то, что на 1 месте. Я так думаю, что их можно спокойно поставить на одно место. Разница лишь в том, что в доказательстве, которое на 2 месте, используются в основном только аксиомы, а в доказательстве, которое на 1, ещё и площади фигур, которые тоже надо доказывать.
Также хочу сказать, что это лишь пятёрка самых лёгких доказательств по моему мнению. Возможно вы найдете более лёгкое доказательство, чем одно из приведённых здесь, поэтому если вы напишете его в комментарии, то я учту ваше мнение и отредактирую статью. Спасибо за внимание! Надеюсь вам понравилась данная статья!